偏微分
partial differentiation
単純な1変数の関数$ y=f(x)の微分に対して、2変数の関数の微分$ y = f(u, v)を考える。
1変数の関数の場合、$ xに対して微小な変位$ \Delta xを考えたが、同様に、$ u, vに対して、微小な変位$ \Delta u, \Delta vが考えられる。
$ y = f(u, v)に対して$ y = f(u + \Delta u, v)として$ uのみで微分したようなものを偏微分と呼び$ \frac{\partial y}{\partial u}または$ \frac{\partial f}{\partial u}と書く。
(他にも色々記法があることに注意。)
$ (u, v)の2次元平面に対して、高さ$ yを加えた3次元だと考え、任意の$ vの値で空間を切断すると、この偏微分$ \frac{\partial y}{\partial u}は$ u軸に対して平行に沿った微分になっていることが分かる。
連続していることが保証されているならば、$ y = f(u, v)に対して$ f(u + \Delta v, v + \Delta v)を求める時に、$ \frac{\partial y}{\partial u} + \frac{\partial y}{\partial v}を足してしまってもよいはずである。(十分に微少なので、少しずれているが問題がない) (座標として、$ (u, v)から$ (u + \Delta u, v + \Delta v)に行くのに、$ (u + \Delta v, v)を経由して$ (u + \Delta u, v + \Delta v)と行くのと、$ (u, v + \Delta v)を経由して$ (u + \Delta u, v + \Delta v)と行くのとで一緒になるという考え方)