位相空間 - bbr-math-memo

位相空間

Topological space

連続性を持つ空間

集合の各要素が具体的にどうつながっているのかが定義されたもの。

ただの集合では要素はバラバラでつながりがない。

要素がつながることで初めて「空間」となる。

位相空間を作ることで、「近傍」と「境界」がはっきりする。

以下のように閉包作用素$ clが定義された空間

(K1) $ cl(∅)=∅

空集合の閉包は空集合

(K2) $ A⊆cl(A)

任意の集合は自身の閉包に含まれる

(K3) $ cl(A∪B)=cl(A)∪cl(B)

和集合の閉包は閉包の和

(K4) $ cl(cl(A))=cl(A)

冪等性：閉包の閉包は元の閉包と一致する

$ Xを台集合、$ Oを$ Xの部分集合族とするとき、$ Oが以下を満たすものとする。

1. $ \varnothing \in O, \quad X \in O

少なくとも、空集合と全体集合の2つを$ Oは持つ。

2.$ U_1, \dots, U_k \in Oなら$ U_1 \cap \dots \cap U_k \in O

$ Oの中の有限個の開集合の共通部分は開集合であり、$ Oはそれを含む。

3. $ \forall \lambda \in \Lambda, U_\lambda \in Oなら$ \bigcup_{\lambda \in \Lambda}U_\lambda \in O

$ Oの中の有限個または無限個の和集合は開集合となり、$ Oはそれを含む。