ベルトランのパラドックス

パラドックスと呼ばれるがパラドックスではない。疑似パラドックス。(定義の問題であるため)

以下、Wikpedia の引き写し。

円に内接する正三角形を考える。

その円の弦を1本無作為に選ぶ。その弦が正三角形の辺より長くなる確率はどれだけか?

正三角形は角が60度。頂点から中心に補助線を引くと、辺と補助線とで30度。

30度と60度の直角三角形の比から求められる。

本当の「確率」とは何かを理解しないまま、場当たり的に(真の無作為と異なる)弦を選ぶと正しい答えが出てこない。

正しく選択しないと確率空間における「弦の密度」が異なってしまうので正しい確率が出てこない。

「無作為な端点」(無作為な端点から別の無作為な端点に伸びる)と考えた場合

三角形を回転させて頂点を弦の片方の起点と考える。

すると、片方の端点は、三角形の頂点で区切られた1/3の区間で、短い方が2/3、長い方が1/3になる。

よって、答えは1/3になる。

弦が端点に偏り、一様分布しない。

中点も一様分布しない。

「無作為な半径」(半径の線と直角に交わる線)と考えた場合

中心から三角形の辺までの距離は1/2になる。中心から三角形の辺までの弦は辺より長く、そこから先は短くなる。

答えは1/2になる。

弦が一様分布する。

中点は一様分布しない。

「無作為な中点」(円の中のどこかが中点となる弦)と考えた場合

中点が半径の1/2より小さい位置にある弦は三角形の辺より長く、それより大きな位置にある弦は短い。

長くなる中点が存在する円の面積は、半径が1/2だから、面積比で1/4になる。

答えは1/4になる。

中点は一様分布する。

弦は一様分布しない。

ジェインズの解

最大無知の原則

与えられていない情報は使ってはならない。

無作為ならば、一様分布でなければならない。

弦が真に無作為に選ばれたならば、円の中の弦の分布も、円の中で切り出した小円の中の分布も同じ分布になるはずである。

以上を考えると、「無作為な半径」方式が弦が一様分布していることを示している。(つまりこれが正しい確率)

「無作為」と言われた場合、どうしたら一様分布になるかを考えなければならない。

確率空間を定義するとき、どういう定義が合理的(適切)かを考えなければならない。