確率論
サイコロの目のようにランダムで発生する事象を数学的に記述する学問
確率は、0から1を事象の現れやすさとして表すことができる。
必ず発生する事象は1、絶対に発生しない事象は0、コイン投げで裏表が半々で現れる場合には1/2となる。
6面サイコロの場合、どの面が出るかは均等と考えられ、それぞれが1/6の確率とされる。(以後、注記がなければサイコロは6面とする。)
古典的確率論と公理的確率論とがある。
古典的確率論
サイコロの目のような単純な場合分けから導き出したもの。
公理的確率論
公理を元に数学的な証明により定理を作っていくもの。 試行
「サイコロを1度振る」のように、1度何かを行い次に事象が現れることが試行となる。
事象
1回試行した時に起こる事が事象となる。
「サイコロを1度振って、3が出た」の「3が出た」の部分が事象となる。
全事象
1度の試行により、起こり得る事象を集めた集合を全事象と言う。
標本空間
標本空間は一般に$ \Omegaで表す。
例えばサイコロの場合$ \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}(1ならば「1の目が出る」の意味)となる。コイントスの場合$ \Omega = \{表,裏\}となる。(それ以外の状態は発生しないと仮定する。)
コイントスの「表」のようなこれ以上分解不能な要素を「根元事象」と呼ぶ。
事象は1回の試行に対して同時に複数発生する可能性があるため、これだけだと正しく表現できていない。
事象の集合
標本空間$ \Omegaでそれぞれの事象が同時発生すると仮定すると、$ 2^\Omegaの数の組み合わせができる。(2なのは「起こる」「起こらない」の2通りであるため)
事象の集合のそれぞれの要素は、標本空間の要素の和集合になる。これは複合事象と呼ばれる。
例えば、コイントスの確率空間は、$ \{\{\}, \{表\}, \{裏\}, \{表, 裏\}\}になる。
$ P(\{\}) = 0、$ P(\{表\}) = 1/2、$ P(\{裏\}) = 1/2、$ P(\{表, 裏\}) = 0となる。
コイントスは1回の試行で、表か裏かのどちらかしか出ない。どちらも出ない、表裏両方が出る、ということはない。
コイントスは、一見すると、表と裏の2通りのように思えるが、数え方が異なる。これは根元事象を「起こるか起こらないか」の2通りで組み合わせるため。
数え漏れのようなことが起きないことを期待している?
この組み合わせを集めたものが事象の集合$ \mathcal{F}となる。
必ず$ 2^\Omegaの組み合わせならばわざわざパラメータ表現にする必要性は?
確率測度
特定の事象の集合に対して、確率を出す関数を$ Pと書く。事象$ Aの確率は$ P(A)となる。
すべての事象の確率を足すと1になる。(少なくとも、1度試行したら、いずれか1つの事象が必ず1回起きる)
$ P(\Omega) = 1
事象を1つも数えないなら確率は0になる。
$ P(\emptyset) = 0
確率空間
標本空間$ \Omega、事象の集合$ \mathcal{F}、確率測度$ Pをまとめたものが確率空間$ (\Omega, \mathcal{F}, P)となる。
事象の組み合わせ
独立事象
事象$ e_aが起きた後でも、起きなかった後でも、事象$ e_bの確率$ P(e_b)が変わらないのであれば、事象$ e_aに対して、事象$ e_bは独立事象である。