ならば
if-then
「$ Pならば$ Q」とは、ある命題$ Pが真となったときに、もう一つの命題$ Qが真になる、という関係を示す。
(「条件文」と呼ぶのが望ましい?)
記号で書く場合は「$ P \rArr Q」と書く。(矢印は様々な様式があることに注意)
table:then
P Q P⇒Q
T T T
T F F
F T T
F F T
$ Pが偽の時、どうして常に$ P \rArr Qが真になるのか? 偽ではどうしてダメなのか?
$ P \rArr Qは以下を満たす必要がある。
$ Pが真、かつ、$ P \rArr Qが真の場合は$ Qは真
$ Pが真、かつ、$ Qが偽の場合、$ P \rArr Qは偽
$ Qが偽、かつ、$ P \rArr Qが真の場合は$ Pは偽 (対偶)
ここまでで3つの条件が埋まるが、$ Pが偽、$ Qが真の時に$ P \rArr Qの値が定まらない。
$ P \rArr Qが真の時、$ Qが真で、$ Pが偽であっても矛盾しない。
$ P \rArr Qが偽の時、$ Qが真で、$ Pが偽であっても矛盾しない。
別の条件を考慮することで、残りの1条件を埋めることができる。
もし$ Pが偽の時$ P \rArr Qが偽だと仮定すると、$ P \rArr Qを条件として持つ何らかの式が、$ Pが偽の時に偽となってしまう。
$ Pが偽の時でもその式は成立していないと矛盾。
考えられるもの
排中律から、「『偽である』と明確に定義できないのであれば真と考える」
空虚な真の考え方から、そもそも最初の条件を満たさなかった時点で真と考える。
関連
参考