非圧縮性流体におけるCoriolis力のhelical wave解析
動機：HMHDのMHD極限,$ \alpha\to0 ,で$ \bm B_0=\bm0 かつ$ \bm\Omega_0\ne\bm0 のときの解析が、consistentにHMHDに繋がっているのか？
まずは$ \bm B_0=\bm0 かつ$ \bm\Omega_0\ne\bm0 のHMHDは$ C_i=1 ,$ C_e=-(2\alpha\bm\Omega_0\cdot\vec k + 1) の固有ベクトルで良いのか？というよりは、この設定でCoriolis項を上手く吸収できるのか？というか、速度がCoriolis力のせいで捩れることが波動にどう効いてくるのか？
運動量の発展方程式は$ \partial_t \bm U + 2 \bm\Omega_0 \times \bm U + (\nabla\times\bm U) \times \bm U = - \nabla (P+\frac12U^2) である；
この段階で$ \bm U(\vec x,t) = \sum_{\vec k,\sigma_k}\hat U(\vec k,t) \bm{\phi}_{\sigma_k}(\vec k;\vec x) と展開して代入すると、Coriolis項は$ 2\bm\Omega_0\times\bm{\phi}_{\sigma_k}(\vec k;\vec x) となってしまい、$ \bm{\phi}_{\sigma_p}(\vec p;\vec x) $ = 2^{-1/2} \big( \bm e_\theta(\vec p) + i \sigma_p \bm e_\phi(\vec p) \big) e^{-i \vec p \cdot \vec x} と内積を取ったときに$ 2\bm\Omega_0 \cdot \Big[ 2^{-1/2} \big( \bm e_\theta(\vec k) + i \sigma_k \bm e_\phi(\vec k) \big) \times 2^{-1/2} \big( \bm e_\theta(\vec p) + i \sigma_p \bm e_\phi(\vec p) \big) \Big] \frac{1}{(2\pi)^3} \int e^{i(\vec k+\vec p)\cdot\vec x} {\rm{d}}^3\vec x
$ = \bm\Omega_0 \cdot \Big[ \bm e_\theta(\vec k) \times (i \sigma_p \bm e_\phi(\vec p)) + (i \sigma_k \bm e_\phi(\vec k)) \times \bm e_\theta(\vec p) \Big] \delta(\vec k+\vec p) $ = \bm\Omega_0 \cdot \Big[ \bm e_\theta(\vec k) \times (i \sigma_p \bm e_\phi(-\vec k)) + (i \sigma_k \bm e_\phi(\vec k)) \times \bm e_\theta(-\vec k) \Big]
$ = - i (\sigma_k + \sigma_p) \bm\Omega_0 \cdot \bm e_r(\vec k) となり、これは$ \sigma_k = \sigma_p のとき$ = - \frac{ 2 \bm\Omega_0 }{\sigma_k} \cdot \frac{ i \vec k }{ |\vec k| } $ \approx - \frac{ 2 \bm\Omega_0 \cdot \nabla }{ \nabla \times } となる。
これは渦度方程式を作ったときに$ \partial_t\bm\Omega + (\bm U \cdot \nabla) \bm\Omega - \big[(2\bm\Omega_0 + \bm\Omega) \cdot \nabla \big]\bm U = \bm0 となることとconsistent.
HMHDで定常磁場、定常回転ありの場合
(U,V)変数のとき
$ \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \frac{\partial}{\partial t} \AR{r}{ \DS \bm U + \frac{\bm A}{\alpha} \phantom{\Big|}\!\! \\ \DS - \frac{\bm A}{\alpha} \phantom{\Big|}\!\! } = \AR{c}{ \DS - 2 \bm\Omega_0 \times \bm U - \frac{\bm B_0}{\alpha} \times \bm U \phantom{\Big|}\!\! \\ \DS \frac{\bm B_0}{\alpha} \times \bm V \phantom{\Big|}\!\! } = \AR{cc}{ \DS - ( 2 \bm\Omega_0 + \frac{\bm B_0}{\alpha} ) \times & O \\ O & \DS \frac{\bm B_0}{\alpha} \times } \AR{r}{ \bm U \phantom{\Big|}\!\! \\ \bm V \phantom{\Big|}\!\! }
(U,J)変数のとき（MHD極限($ \alpha\to0 ),$ \bm B_0 = \bm0 ,$ \bm\Omega_0 = \bm0 の三者をを扱いやすい）
$ \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \frac{\partial}{\partial t} \AR{r}{ \bm U \phantom{\Big|}\!\! \\ \phantom{\Big|}\!\! \bm A } $ = \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \frac{\partial}{\partial t} \AR{rr}{ 1 & 1 \phantom{\Big|}\!\! \\ \phantom{\Big|}\!\! 0 & - \alpha } \AR{r}{ \DS \bm U + \frac{\bm A}{\alpha} \phantom{\Big|}\!\! \\ \DS - \frac{\bm A}{\alpha} \phantom{\Big|}\!\! }
$ = \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \AR{rr}{ 1 & 1 \phantom{\Big|}\!\! \\ \phantom{\Big|}\!\! 0 & - \alpha } \AR{cc}{ \DS - ( 2 \bm\Omega_0 + \frac{\bm B_0}{\alpha} ) \times & O \\ O & \DS \frac{\bm B_0}{\alpha} \times } \AR{rr}{ 1 & 0 \phantom{\Big|}\!\! \\ \phantom{\Big|}\!\! 1 & - \alpha } \AR{cc}{ 1 & 0 \phantom{\Big|}\!\! \\ \phantom{\Big|}\!\! \DS \frac{1}{\alpha} & \DS -\frac{1}{\alpha} } \AR{r}{ \bm U \phantom{\Big|}\!\! \\ \bm V \phantom{\Big|}\!\! }
$ = \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \AR{rr}{ 1 & 1 \phantom{\Big|}\!\! \\ \phantom{\Big|}\!\! 0 & - \alpha } \AR{cc}{ \DS - ( 2 \bm\Omega_0 + \frac{\bm B_0}{\alpha} ) \times & O \\ \DS \frac{\bm B_0}{\alpha} \times & \DS - \bm B_0 \times } \AR{r}{ \bm U \phantom{\Big|}\!\! \\ \bm J \phantom{\Big|}\!\! } $ = \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \AR{cc}{ - 2 \bm\Omega_0 \times & - \bm B_0 \times \phantom{\Big|}\!\! \\ \phantom{\Big|}\!\! - \bm B_0 \times & \alpha \bm B_0 \times } \AR{r}{ \bm U \phantom{\Big|}\!\! \\ \bm J \phantom{\Big|}\!\! }
$ \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \AR{r}{ \bm U \phantom{\big|}\!\! \\ \phantom{\big|}\!\! \bm J } \propto \AR{r}{ \sigma s \lambda^s \bm\phi_\sigma(\vec{k}) \\ \DS \sigma k \bm\phi_\sigma(\vec{k}) } ,$ \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \AR{r}{ \bm U \phantom{\big|}\!\! \\ \phantom{\big|}\!\! \bm A } \propto \AR{r}{ \sigma s \lambda^s \bm\phi_\sigma(\vec{k}) \\ \DS (\sigma k)^{-1}\bm\phi_\sigma(\vec{k}) } より$ \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \AR{r}{ \bm U \phantom{\big|}\!\! \\ \phantom{\big|}\!\! \bm J }^T \AR{r}{ \bm U \phantom{\big|}\!\! \\ \phantom{\big|}\!\! \bm A } \propto (\lambda^s)^2 +1
内積；一般化速度(U,J)
$ \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \AR{r}{ \sigma s \lambda^s \bm\phi_\sigma(-\vec{k}) \\ \DS \sigma k \bm\phi_\sigma(-\vec{k}) }^T \AR{cc}{ - 2 \bm\Omega_0 \times & - \bm B_0 \times \phantom{\big|}\!\! \\ \phantom{\big|}\!\! - \bm B_0 \times & \alpha \bm B_0 \times } \AR{r}{ \sigma s \lambda^s \bm\phi_\sigma(\vec{k}) \\ \DS \sigma k \bm\phi_\sigma(\vec{k}) } $ = \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \AR{r}{ \sigma s \lambda^s \bm\phi_\sigma(-\vec{k}) \\ \DS \sigma k \bm\phi_\sigma(-\vec{k}) }^T \AR{r}{ - \sigma s \lambda^{s} (2 \bm\Omega_0 \times \bm\phi_\sigma(\vec{k}) ) - \sigma k (\bm B_0 \times \bm\phi_\sigma(\vec{k}) ) \\ \DS - \sigma s \lambda^{s} (\bm B_0 \times \bm\phi_\sigma(\vec{k}) ) + \alpha \sigma k (\bm B_0 \times \bm\phi_\sigma(\vec{k}) ) } $ = \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize (\sigma s \lambda^{s})^2 \frac{2 \bm\Omega_0 \cdot \vec k}{\sigma k} + (\sigma s \lambda^{s})(\sigma k) \frac{\bm B_0 \cdot \vec k}{\sigma k} + (\sigma s \lambda^{s})(\sigma k) \frac{\bm B_0 \cdot \vec k}{\sigma k} - \alpha (\sigma k)^2 \frac{\bm B_0 \cdot \vec k}{\sigma k} $ = \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize (\sigma s \lambda^{s})^2 \frac{2 \bm\Omega_0 \cdot \vec k}{\sigma k} + (\sigma s \lambda^{s})\bm B_0 \cdot \vec k + (\sigma s \lambda^{s}) \bm B_0 \cdot \vec k - \alpha (\sigma k) \bm B_0 \cdot \vec k
ここで$ \bm B_0\cdot\vec k\ne0 とすると
$ = \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \frac{\bm B_0 \cdot \vec k}{\sigma k} \bigg[ (\sigma s \lambda^{s})^2 \frac{2 \bm\Omega_0 \cdot \vec k}{\bm B_0 \cdot \vec k} + (\sigma s \lambda^{s})(\sigma k) + (\sigma s \lambda^{s})(\sigma k) - \alpha (\sigma k)^2 \bigg] $ = \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \frac{\bm B_0 \cdot \vec k}{\alpha\sigma k} \bigg[ \underbrace{ (\sigma s \lambda^{s})^2 \frac{2 \alpha \bm\Omega_0 \cdot \vec k}{\bm B_0 \cdot \vec k} } + (\sigma s \lambda^{s})(\alpha \sigma k) + (\sigma s \lambda^{s})(\alpha \sigma k) - (\alpha \sigma k)^2 \bigg] $ = \newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \frac{\bm B_0 \cdot \vec k}{\alpha\sigma k} \bigg[ \underbrace{ (\sigma s \lambda^{s})^2 (2 \alpha \tilde\Omega_0 + 1) - (\sigma s \lambda^{s})^2 } + (\sigma s \lambda^{s})(\alpha \sigma k) + (\sigma s \lambda^{s})(\alpha \sigma k) - (\alpha \sigma k)^2 \bigg] $ = \newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \frac{\bm B_0 \cdot \vec k}{\alpha\sigma k} \bigg[ (\sigma s \lambda^{s})^2 (2 \alpha \tilde\Omega_0 + 1) - (\sigma s \lambda^{s} - \alpha \sigma k)^2 \bigg] $ = \newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \frac{\bm B_0 \cdot \vec k}{\alpha\sigma k} \bigg[ (\sigma s \lambda^{s})^2 ( - \Lambda_\sigma^{s} \Lambda_\sigma^{-s} ) - (\Lambda_\sigma^{-s})^2 \bigg] $ = \newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize - \frac{\Lambda_\sigma^{-s} ( \bm B_0 \cdot \vec k ) }{\alpha\sigma k} \bigg[ (\sigma s \lambda^{s})^2 ( \Lambda_\sigma^{s} ) + \Lambda_\sigma^{-s} \bigg] $ = \newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize - (\sigma s \lambda^{s}) \frac{\Lambda_\sigma^{-s} ( \bm B_0 \cdot \vec k ) }{\alpha\sigma k} \bigg[ (\sigma s \lambda^{s}) ( \Lambda_\sigma^{s} ) + (\sigma s \lambda^{-s}) \Lambda_\sigma^{-s} \bigg] $ = \newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize - (\sigma s \lambda^{s}) \frac{\Lambda_\sigma^{-s} ( \bm B_0 \cdot \vec k ) }{\alpha\sigma k} \bigg[ (\sigma s \lambda^{s}) ( \alpha \sigma k + \sigma s \lambda^{-s} ) + (\sigma s \lambda^{-s}) ( \alpha \sigma k - \sigma s \lambda^{s} ) \bigg] $ = \newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize - (\alpha \sigma k)(\sigma s \lambda^{s}) \frac{\Lambda_\sigma^{-s} ( \bm B_0 \cdot \vec k ) }{\alpha\sigma k} \big[ \sigma s \lambda^{s} + \sigma s \lambda^{-s} \big] $ = \newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize - \Lambda_\sigma^{-s} ( \bm B_0 \cdot \vec k ) \big[ (\sigma s \lambda^{s})^2 + 1 \big] $ = \newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize - \Lambda_\sigma^{-s} ( \bm B_0 \cdot \vec k ) \big[ \lambda^{2s} + 1 \big]
これは(U,V)変数での計算と(U,J)変数での計算がconsistentにできることを確かめた。
内積(共役との；動機：消え方を知りたい；一般化速度(U,J))
$ \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \AR{r}{ - \sigma s \lambda^{-s} \bm\phi_\sigma(-\vec{k}) \\ \DS \sigma k \bm\phi_\sigma(-\vec{k}) }^T \AR{cc}{ - 2 \bm\Omega_0 \times & - \bm B_0 \times \phantom{\big|}\!\! \\ \phantom{\big|}\!\! - \bm B_0 \times & \alpha \bm B_0 \times } \AR{r}{ \sigma s \lambda^s \bm\phi_\sigma(\vec{k}) \\ \DS \sigma k \bm\phi_\sigma(\vec{k}) }
$ = \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \AR{r}{ - \sigma s \lambda^{-s} \bm\phi_\sigma(-\vec{k}) \\ \DS \sigma k \bm\phi_\sigma(-\vec{k}) }^T \AR{r}{ - \sigma s \lambda^{s} (2 \bm\Omega_0 \times \bm\phi_\sigma(\vec{k}) ) - \sigma k (\bm B_0 \times \bm\phi_\sigma(\vec{k}) ) \\ \DS - \sigma s \lambda^{s} (\bm B_0 \times \bm\phi_\sigma(\vec{k}) ) + \alpha \sigma k (\bm B_0 \times \bm\phi_\sigma(\vec{k}) ) }
$ = \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize - \frac{2 \bm\Omega_0 \cdot \vec k}{\sigma k} + (- \sigma s \lambda^{-s})(\sigma k) \frac{\bm B_0 \cdot \vec k}{\sigma k} + (\sigma s \lambda^{s})(\sigma k) \frac{\bm B_0 \cdot \vec k}{\sigma k} - \alpha (\sigma k)^2 \frac{\bm B_0 \cdot \vec k}{\sigma k}
ここで$ \bm B_0\cdot\vec k\ne0 とすると
$ = \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \frac{\bm B_0 \cdot \vec k}{\sigma k} \bigg[ - \frac{2 \bm\Omega_0 \cdot \vec k}{\bm B_0 \cdot \vec k} + (- \sigma s \lambda^{-s})(\sigma k) + (\sigma s \lambda^{s})(\sigma k) - \alpha (\sigma k)^2 \bigg]
$ = \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \frac{\bm B_0 \cdot \vec k}{\alpha\sigma k} \bigg[ - \frac{2 \alpha \bm\Omega_0 \cdot \vec k}{\bm B_0 \cdot \vec k} + (- \sigma s \lambda^{-s})(\alpha \sigma k) + (\sigma s \lambda^{s})(\alpha \sigma k) - (\alpha \sigma k)^2 \bigg]
$ = \newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \frac{\bm B_0 \cdot \vec k}{\alpha\sigma k} \bigg[ - (2 \alpha \tilde\Omega_0 + 1) + 1 + (- \sigma s \lambda^{-s})(\alpha \sigma k) + (\sigma s \lambda^{s})(\alpha \sigma k) - (\alpha \sigma k)^2 \bigg]
$ = \newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \frac{\bm B_0 \cdot \vec k}{\alpha\sigma k} \bigg[ \Lambda_\sigma^{s}\Lambda_\sigma^{-s} + 1 + (- \sigma s \lambda^{-s})(\alpha \sigma k) + (\alpha \sigma k)(-\Lambda_\sigma^{-s}) \bigg]
$ = \newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \frac{\bm B_0 \cdot \vec k}{\alpha\sigma k} \bigg[ \Lambda_\sigma^{-s}(\Lambda_\sigma^{s} - \alpha \sigma k) + 1 + (- \sigma s \lambda^{-s})(\alpha \sigma k) \bigg]
$ = \newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \frac{\bm B_0 \cdot \vec k}{\alpha\sigma k} \bigg[ \Lambda_\sigma^{-s}(\sigma s \lambda^{-s}) + 1 + (- \sigma s \lambda^{-s})(\alpha \sigma k) \bigg]
$ = \newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \frac{\bm B_0 \cdot \vec k}{\alpha\sigma k} \bigg[ (\Lambda_\sigma^{-s} - \alpha \sigma k)(\sigma s \lambda^{-s}) + 1 \bigg]
$ = \newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \frac{\bm B_0 \cdot \vec k}{\alpha\sigma k} \bigg[ (-\sigma s \lambda^s)(\sigma s \lambda^{-s}) + 1 \bigg] = 0
調べたいこと：$ \bm B_0=\bm0 で固有ベクトルを渦度作用素$ \hat W ,$ C_i=1 ,$ C_e=-2\alpha\tilde C-1 で決めたときと、フルの固有ベクトルの$ B_0\to0 が一致するか？（固有値、固有ベクトル(1)） 内積：計算部分で$ \int \bm\phi_\sigma(-\vec k) \cdot \bm\phi_\sigma(\vec k) {\rm{d}}^3\vec x = 1 の積分記号と規格化因子$ \frac{1}{\sqrt{\lambda^{2s}+1}} を書くのをサボっている
$ \big<+\big|\hat\Omega\big|+\big> は$ \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \AR{r}{ \sigma \lambda \bm\phi_\sigma(-\vec{k}) \\ \DS \sigma k \bm\phi_\sigma(-\vec{k}) }^T \AR{cc}{ - 2 \bm\Omega_0 \times & 0 \phantom{\big|}\!\! \\ \phantom{\big|}\!\! 0 & 0 } \AR{r}{ \sigma \lambda \bm\phi_\sigma(\vec{k}) \\ \DS \sigma k \bm\phi_\sigma(\vec{k}) } $ = \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \AR{r}{ \sigma \lambda \bm\phi_\sigma(-\vec{k}) \\ \DS \sigma k \bm\phi_\sigma(-\vec{k}) }^T \AR{r}{ - \sigma \lambda (2 \bm\Omega_0 \times \bm\phi_\sigma(\vec{k}) ) \\ \DS 0 } $ = \newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \lambda^{2} \frac{2 \bm\Omega_0 \cdot \vec k}{\sigma k} より$ \newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \frac{\lambda^{2}}{\lambda^{2}+1} \frac{2 \bm\Omega_0 \cdot \vec k}{\sigma k}
$ \big<+\big|\hat\Omega\big|-\big> は$ \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \AR{r}{ \sigma \lambda \bm\phi_\sigma(-\vec{k}) \\ \DS \sigma k \bm\phi_\sigma(-\vec{k}) }^T \AR{cc}{ - 2 \bm\Omega_0 \times & 0 \phantom{\big|}\!\! \\ \phantom{\big|}\!\! 0 & 0 } \AR{r}{ - \sigma \lambda^{-1} \bm\phi_\sigma(\vec{k}) \\ \DS \sigma k \bm\phi_\sigma(\vec{k}) } $ = \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \AR{r}{ \sigma \lambda \bm\phi_\sigma(-\vec{k}) \\ \DS \sigma k \bm\phi_\sigma(-\vec{k}) }^T \AR{r}{ \sigma \lambda^{-1} (2 \bm\Omega_0 \times \bm\phi_\sigma(\vec{k}) ) \\ \DS 0 } $ = \newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize - \frac{2 \bm\Omega_0 \cdot \vec k}{\sigma k} より$ \newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize - \frac{1}{\sqrt{\lambda^{2}+1}\sqrt{\lambda^{-2}+1}} \frac{2 \bm\Omega_0 \cdot \vec k}{\sigma k} $ = \newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \frac{-\lambda}{\lambda^{2}+1} \frac{2 \bm\Omega_0 \cdot \vec k}{\sigma k}
$ \big<-\big|\hat\Omega\big|+\big> は$ \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \AR{r}{ - \sigma \lambda^{-1} \bm\phi_\sigma(-\vec{k}) \\ \DS \sigma k \bm\phi_\sigma(-\vec{k}) }^T \AR{cc}{ - 2 \bm\Omega_0 \times & 0 \phantom{\big|}\!\! \\ \phantom{\big|}\!\! 0 & 0 } \AR{r}{ \sigma \lambda \bm\phi_\sigma(\vec{k}) \\ \DS \sigma k \bm\phi_\sigma(\vec{k}) } $ = \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \AR{r}{ - \sigma \lambda^{-1} \bm\phi_\sigma(-\vec{k}) \\ \DS \sigma k \bm\phi_\sigma(-\vec{k}) }^T \AR{r}{ - \sigma \lambda (2 \bm\Omega_0 \times \bm\phi_\sigma(\vec{k}) ) \\ \DS 0 } $ = - \newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \frac{2 \bm\Omega_0 \cdot \vec k}{\sigma k} より$ \newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize - \frac{1}{\sqrt{\lambda^{-2}+1}\sqrt{\lambda^{2}+1}} \frac{2 \bm\Omega_0 \cdot \vec k}{\sigma k} $ = \newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \frac{-\lambda}{\lambda^{2}+1} \frac{2 \bm\Omega_0 \cdot \vec k}{\sigma k}
$ \big<-\big|\hat\Omega\big|-\big> は$ \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \AR{r}{ - \sigma \lambda^{-1} \bm\phi_\sigma(-\vec{k}) \\ \DS \sigma k \bm\phi_\sigma(-\vec{k}) }^T \AR{cc}{ - 2 \bm\Omega_0 \times & 0 \phantom{\big|}\!\! \\ \phantom{\big|}\!\! 0 & 0 } \AR{r}{ - \sigma \lambda^{-1} \bm\phi_\sigma(\vec{k}) \\ \DS \sigma k \bm\phi_\sigma(\vec{k}) } $ = \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \AR{r}{ - \sigma \lambda^{-1} \bm\phi_\sigma(-\vec{k}) \\ \DS \sigma k \bm\phi_\sigma(-\vec{k}) }^T \AR{r}{ \sigma \lambda^{-1} (2 \bm\Omega_0 \times \bm\phi_\sigma(\vec{k}) ) \\ \DS 0 } $ = \newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \lambda^{-2} \frac{2 \bm\Omega_0 \cdot \vec k}{\sigma k} より$ \newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \frac{\lambda^{-2}}{\lambda^{-2}+1} \frac{2 \bm\Omega_0 \cdot \vec k}{\sigma k} $ = \newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \frac{1}{\lambda^{2}+1} \frac{2 \bm\Omega_0 \cdot \vec k}{\sigma k}
trace:$ \frac{2 \bm\Omega_0 \cdot \vec k}{\sigma k} ，determinant:$ 0 ；この意味は速度場だけに変な加速がかかっている状態を速度場と磁場がカップルしたモードに分解しているということ。だからこの行列を対角化すると固有モードは速度場だけ(固有値$ X = \frac{2 \bm\Omega_0 \cdot \vec k}{\sigma k} )、磁場だけのモード(固有値$ X = 0 )になる。だから一般化渦度演算子の固有モードに帰着することはない。
固有ベクトルは$ \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \frac{2 \bm\Omega_0 \cdot \vec k}{\sigma k}\AR{rr}{ \lambda^2 & -\lambda \\ -\lambda & 1 }\AR{r}{ 1 \\ \lambda }=0 ，$ \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \frac{2 \bm\Omega_0 \cdot \vec k}{\sigma k}\AR{cc}{ \lambda^2 - (\lambda^2+1) & -\lambda \\ -\lambda & 1 - (\lambda^2+1) }\AR{r}{ \lambda \phantom{\big|}\!\! \\ -1 \phantom{\big|}\!\! }=0 なので
$ \newcommand{\AR}[2]{\left[\begin{array}{#1}#2\end{array}\right]}\newcommand{\DS}{\displaystyle} \footnotesize \AR{r}{ U_\sigma(\vec k) \phantom{\big|}\!\! \\ B_\sigma(\vec k) \phantom{\big|}\!\! } = \frac{1}{\sqrt{\lambda^2+1}} \AR{rr}{ \sigma\lambda & -\sigma \\ 1 & \lambda }\AR{r}{ Z_\sigma^+(\vec k) \phantom{\big|}\!\! \\ Z_\sigma^-(\vec k) \phantom{\big|}\!\! } とconsistentな結論（あれ？$ {\rm{det}}=\sigma でユニタリーじゃない。でもそれは余りたいしたことではなかった：固有値、固有ベクトル(1)，固有値、固有ベクトル(2)） $ \bm B_0 \ne \bm0 ，$ \bm\Omega_0 = \bm0 の場合は