積分とは
積分とは
積分とは$ y=f(x)のグラフ、$ x軸、直線$ x=a, $ x=bで囲まれた部分の「(符号付き)面積」を求める計算
$ S =\int_{a}^{b}f(x)dx= \lim_{N\to\infty} \sum_{i=1}^{N} \overbrace{\underbrace{f(t_i)}_{高さ}\,\underbrace{(x_{i}-x_{i-1})}_{幅}}^{面積}
グラフの面積を計算する目的
変化する量の「蓄積」を求める
例:速度$ v(t)〔単位$ \rm{m/s}〕(横軸$ t, 縦軸$ vのグラフ)を積分すると移動距離〔単位$ \rm{m}〕:$ \int_0^T \underbrace{\overbrace{v(t)}^{\rm{m/s}}\ \overbrace{dt}^{\rm{s}}}_{\rm{(m/s)\times s}} = \underbrace{\overbrace{x(T)}^{終着点}-\overbrace{x(0)}^{出発点}}_{\rm{m}}
注意:積分の答の単位は「縦軸の単位」×「横軸の単位」になる
積分計算の仕方
基本公式:グラフの形状のみから導かれるもの
$ 加法性: \int_a^cf(x)dx= \int_a^bf(x)dx + \int_b^cf(x)dx ,\ 面積が0:\int_a^a f(x)dx=0
$ 偶関数: \int_{-a}^{a}f(x)dx= 2\int_{0}^{a}f(x),\ 奇関数: \int_{-a}^{a}f(x)dx= 0
数値的な計算で近似値を求める
区分求積法:極限を取らない $ S \approx \sum_{i=1}^{N}f(t_i)\,(x_{i}-x_{i-1})
Gauss積分などの積分公式
代数的な計算で$ f(x) の原始関数$ F(x)を求めて、微分積分学の基本定理を使い原始関数の積分区間の端点での値を代入する
微分積分学の基本定理 $ \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)(ただし$ F'(x)=f(x))
定理の別の形:$ \frac{d}{dx}\int_a^xf(t)\,dt=f(x)
注意:原始関数は必ず存在するが、原始関数を初等関数(多項式, 三角関数, 逆三角関数, 指数関数, 対数関数)の組み合わせとして代数的に求めることができない関数がある
例:$ \int e^{-x^2/2}dx (関数$ e^{-x^2/2}はGauss関数と呼ばれ統計学的に重要)
でも定積分なら値を出せる例もある:$ \int_0^\infty e^{-x^2/2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{2}}
基本公式:線形性
$ \int(f(x)+g(x))dx= \int f(x)\,dx+ \int g(x)\,dx,\ \int a f(x)\,dx=a \int f(x)\,dx
基本公式:初等関数の不定積分
$ \int x^n\,dx=\left\{\begin{array}{lr}\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1}+C & (n\ne-1) \\\\ \ln|x|+C & (n=-1)\Bigg. \end{array} \right.
$ \int\cos x \, dx = \sin x + C
$ \Longrightarrow \int\sin x\,dx = -\cos x + C (これは y=\cos x のグラフの平行移動で求められる)
$ \int e^x\,dx=e^x+C (\int a^xdxは\bm{公式\ a^x=e^{x\ln a}}を用いて処理する)
関数の積には基本公式は無い(ここに書かれた技巧を組み合わせて導かれた公式はある)
微分の逆
$ 例:(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2x}より\int\frac{dx}{\cos^2x}=\tan x+C
$ \boxed{\int_{a}^{b} f'(x)\,g(x)\,dx=\left[ f(x)\,g(x)\right]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}f(x)\,g'(x)\,dx}
$ 例:\int \ln x\,dx = \int(x)'\ln x\,dx = x\ln x-\int \underbrace{x\times\overbrace{(\ln x)'}^{\frac1x}}_{x\times\frac1x=1}dx = x\ln x- x + C
置換積分(連鎖律の逆):(意味)面積が同じになる別の関数と積分区間への書き換え
$ \boxed{ x=g(t) であるとき \int_a^b f\big(g(t)\big)\,g'(t)\,dt=\int_{g(a)}^{g(b)}f(x)\,dx}
アフィン変換:$ t=\underbrace{ax+b.}_{xの1次関数}意味:グラフの拡大・縮小・平行移動。
$ \boxed{公式:F'(x)=f(x) とするとき \int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C}
$ \int_0^{\pi/6}\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)dx=\left[\frac12\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\right]_0^{\pi/6}
特殊な変数変換(有名なもの)
$ \sqrt{1-x^2} に対し$ x=\sin t
$ \frac{1}{1+x^2} に対し$ x=\tan t
$ \sqrt{x^2+A} に対し$ \sqrt{x^2+A}=t-x ; 例題 グラフの形が全く同じになる別の関数への書き換え(有名なもの)
三角関数の積和の公式
$ 例:\sin mx\cos nx=\frac12\big[\sin(mx+nx)+\sin(mx-nx)\big]
部分分数分解
例:$ \frac{\overbrace{x^4}^{分子の次数が分母より大}}{\underbrace{(x-1)^2(x-2)}_{x=1(2次),2(1次)で発散}}=\underbrace{9 x+4}_{発散しない}\underbrace{-\frac{5}{x-1}-\frac{1}{(x-1)^2}}_{x=1で発散}+\underbrace{\frac{16}{x-2}}_{x=2で発散}
例:$ \underbrace{\frac{9^{\phantom{\LARGE l}}}{(x-1)^2(x+2)}}_{x=-2,1で発散} = \underbrace{\frac{1}{x+2}}_{x=-2で発散} \underbrace{-\frac{1}{x-1}+\frac{3}{(x-1)^2}}_{x=1で発散}