線形空間 - appbirdNotebook

線形空間

$ \mathbb{K}:体 (スカラー体)

実数全体集合$ \Rか複素数全体集合$ \mathbb{C}かであると考えればいい

$ 0 \in \mathbb{K}: 零元/加法単位元

太字$ \bm{0}とは区別するので注意

$ 1 \in \mathbb{K}: 乗法単位元

$ V:集合

$ +: V^2 \to V$ \cdot:\mathbb{K}\times V \to V, $ -: V \to V:写像

$ \mathbb{K}上の線型空間$ (V, +, -,\ \cdot \ )とは、以下のような条件をすべて満たす集合である。

(あらかじめ任意の$ a, b, c \in \mathbb{K}, $ \bm{x, y, z} \in Vをとる。)

以下の演算$ +, -, \ \cdotが存在する。

$ \forall \bm{x, y} \in V; \ \forall a \in \mathbb{K;}

閉じた加法$ \bm{x} + \bm{y} \in V

$ +: V^2 \to V

閉じたスカラー倍$ a\bm{x} \in V

$ \cdot:\mathbb{K}\times V \to V

逆ベクトル$ -\bm{x} \in V

$ -: V \to V

特殊な$ Vの元として、零ベクトル $ \bm{0} \in Vが存在する。

定義された演算の満たすべき性質

(1) 加法に関して$ (V, +)は可換群

(a) 加法交換則 $ \bm{x} + \bm{y} = \bm{y} + \bm{x}

(b) 加法結合則 $ (\bm{x} + \bm{y}) + \bm{z} = \bm{x} + (\bm{y} + \bm{z})

(d) 加法逆元 $ \bm{x}+ (-\bm{x}) = \bold{0}

(2) スカラー倍に関して$ (V, \ \cdot \ )は(ほぼ)可換群

(g) 乗法結合則 $ (ab)c\bm{x} = a(bc)\bm{x}

(h) 乗法単位元 $ 1\bm{x} = \bm{x}

/icons/notepad.icon 乗法交換則は$ \mathbb{K}上の性質からすでに保証されることに注意

$ (ab)\bm{x} = (ba)\bm{x}

/icons/notepad.icon 乗法逆元は存在しない。(ベクトルの除算は考えない)

(3) 加法と乗法に関して体

(e) 乗法から加法の結合法則 $ a(\bm{x} + \bm{y}) = a\bm{x} + a\bm{y}

(f) 加法から乗法の結合法則 $ (a + b)\bm{x} = a\bm{x} + b\bm{x}

この上で、以下の系が導き出せる。

0. ベクトル和とスカラー倍の関連

$ \bm{x} + \bm{x} + \cdots + \bm{x} = n\bm{x}

ただし、左辺には$ n個の$ \bm{x}が並んでいるものとする。

数学的帰納法を使う。

1. 両辺の減算

$ \bm{x} + \bm{y} = \bm{z} \ \Rightarrow \ \bm{y} = \bm{z} + (-\bm{x})

(1)から導出可能 (群の性質)

2. 両辺の除算

$ a\bm{x} = \bm{y} \Rightarrow \bm{x} = \frac{1}{a} \bm{y}

(2)から導出可能

3. 零ベクトルの一意性

$ \bm{x} + \bm{y} = \bm{x} \Rightarrow \bm{y} = \bm{0}

4. 5. 乗法零元

$ 0\bm{x} = \bm{0}, a\bm{0} = \bm{0}

6. 逆ベクトルの一意性

$ \bm{x} + \bm{y} = \bm{0} \Rightarrow \bm{y} = -\bm{x}

7. スカラー倍と逆ベクトルの関連

$ (-1)\bm{x} = -\bm{x}

8. 逆元の逆元 $ -(-\bm{x}) = \bm{x}

9. 因数分解 $ a\bm{x} = 0 \Rightarrow \bm{x} = \bm{0}\ \mathrm{or} \ a = \bm{0}

10. 通分 $ \frac{\bm{x}}a + \frac{\bm{y}}b = \frac{b\bm{x} + a\bm{y}}{ab}

11. 乗法単位元の一意性 $ a\bm{x} = \bm{x} \Rightarrow a = 1

12. 乗法単位元の一意性 $ a\bm{x} = b\bm{x} \Rightarrow a = b

おおよその関連性はこう

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