第5章問1::ド・モルガンの法則と集合族

(5.4), (5.5)を使って、命題5.4が成立することを示せ。

(5.4) $ \lnot(\forall x; \ p(x)) \Leftrightarrow \exist x; \ (\lnot p(x))

(5.5) $ \lnot(\exist x;p(x)) \Leftrightarrow \forall x; (\lnot p(x))

$ \def\l{\lambda} \def\L{\Lambda} \def\bu{\bigcup_{\l \in \L}} \def\ba{\bigcap_{\l \in \L}} X - \bu A_\l = \ba(X-A_\lambda) \\ X - \ba A_\l = \bu(X-A_\lambda)

証明

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直感的理解

$ \Lambda = \{1,2\}とすればわかりやすい

$ X - (A_1 \cup A_2)

$ = X \cap (\overline{A_1} \cap \overline{A_2})

$ = (X \cap \overline{A_1}) \cap (X \cap \overline{A_2})

(Xを複製しても真偽値は変わらない)

$ = (X - A_1) \cap(X-A_2)

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