オイラーの方程式からベルヌイの定理を導く

理想流体の運動方程式に定常ながれを適用し、左辺に移項することで、

$ q\frac{d q}{d s}+\frac{1}{\rho}\frac{d p}{d s}+g\frac{d z}{d s}=0

これを流線方向（s方向）に積分することで、

$ \frac{q^2}{2}+\int\frac{dp}{\rho}+gz=const

よって、

$ \frac{q^2}{2}+\frac{p}{\rho}+gz=const\quad(J/kg)

$ \int q\frac{dq}{ds}ds=\int\frac{1}{2}\frac{dq^2}{ds}ds=\frac{q^2}{2}に留意すること。