ベルヌイの定理 - akas-soliloquy

ベルヌイの定理

Bernoulli's theorem

ベルヌーイの定理、または単にベルヌイの式とも

流体におけるエネルギー保存則である

<ベルヌイの定理>

基準面からz (m)の高さにある任意の点ｓについて、流体のエネルギー状態を考える。密度$ \rhoの流体が質量流量m (kg/s)で定常に流れていて、流れの断面積A (m^2)と、流体の速度q (m/s)それぞれの関係は、

$ m=\rho Aq

である。

質量流量$ mを用いることで、運動エネルギー、位置エネルギー、圧力のする仕事量（圧力エネルギー）の総量は、

$ E=\frac{1}{2}mq^2+mgz+Apq

圧力$ p(Pa)の流体は、後方から$ Aq(N)で押し込まれる。１秒間に移動する距離が$ q(m)である。

次元は$ J/s

一次元定常の流れにおいては、$ m=constであり、定常である事から一定体積における$ (流入エネルギー)=流出エネルギーが成り立つことで、

$ E=const

つまり一般的なベルヌイの定理の以下の式が導ける。

$ \frac{q^2}{2}+\frac{p}{\rho}+gz=const\quad(J/kg) \tag{1}

これはEをm (const)で割った形

$ \frac{\rho q^2}{2}+p+\rho gz=const \quad(Pa) \tag{2}

これは1式に$ \rhoを乗じた形

本項では一次元定常流れ（理想流体の管の中の流れ）を用いたが、その管を無限に細くして、流線として考えるのがこちら

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