フーリエ変換

事前に読む

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（連続）フーリエ変換

$ f(x) \sim \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n e^{j \frac{n\pi}{L}x}

$ c_n = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L}f(t)e^{-j \frac{n\pi}{L}t}dt

である。

ここで、フーリエ級数に展開できるのは周期性を持つ周期関数のみであったが、非周期関数についても考えたい。

そこで、

$ f(x) \sim \sum_{n = -\infty}^{\infty} (\frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(t)e^{-j\frac{n\pi}{L}t} dt) e^{j\frac{n\pi}{L}x}

$ f(x) \sim \sum_{n = -\infty}^{\infty}(\frac{1}{2\pi} \int_{-L}^{L}f(t)e^{-j\omega_n t} dt)e^{j\omega_n x}\varDelta \omega \cdots (1)

となる。ここで、

$ F'(\omega_n) = (\frac{1}{2\pi}\int_{-L}^{L}f(t)e^{-j\omega_n t}dt)e^{j\omega_n x}

$ f(x) \sim \lim_{\varDelta \omega \to 0} \sum_{n = -\infty}^{\infty} F'(\omega_n)\varDelta \omega = \int_{-\infty}^{\infty} F'(\omega)d\omega \cdots (2)

$ f(x) \sim \int_{-\infty}^{\infty} (\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t}dt) e^{j\omega x}d\omega \cdots (3)

となる。

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$ \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)| dx < \infty

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$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t} dt \cdots (4)

とすると、

$ f(x) \sim \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega x}d\omega \cdots (5)

となる。

フーリエ解析とは、ある強さ（フーリエ係数）を持つ波を重ね合わせることで任意の関数を表せられないか、というものである。

$ \mathcal{F}[f(t)]= F(\omega)

と表す。

$ \mathcal{F^{-1}}[F(\omega)] \coloneqq \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{j\omega x}d\omega \cdots (6)

と定義する。

$ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega x} d\omega

$ = \begin{cases} f(x) &(連続な点) \\ \frac{\lim_{a \to x-0}f(a) + \lim_{a \to x+0}f(a)}{2} &(不連続な点) \end{cases} \cdots (7)

$ f(x) \sim \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n e^{j \frac{n\pi}{L}x}

$ c_n = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L}f(t)e^{-j \frac{n\pi}{L}t}dt

$ f(x) \sim \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega x}d\omega

$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt

で表される。

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離散フーリエ変換

複素フーリエ級数とフーリエ変換によって、周期関数と非周期関数を表現することができるが、どちらも元の関数が連続である必要がある。

そのため、デジタル信号など離散的にしか値を持たない不連続な関数を表現することができない。

https://scrapbox.io/files/5fb4cb0334fe490043668b0e.jpg

そこで、デルタ関数を考える。

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$ \delta_r(t) = \begin{cases} \frac{1}{2r} &(t \in [-r, r]) \\ 0 &(t \in (-\infty, -r) \cup (r, \infty)) \end{cases}

$ \delta(t) \coloneqq \lim_{r \to 0}\delta_r(t) = \begin{cases} \infty &(t = 0) \\ 0 &(t \neq 0) \end{cases} \cdots (\ast)

$ \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = \int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\delta(t)dt = 1 \cdots (\ast\ast)

そして、デルタ関数とある関数との積の形にすることで、ある区間において一定の値を取り続ける元の関数の近似関数を考えることができるようになる。

これにより、離散的な関数についても、近似的に微積分を考えることができる。

ここで、デルタ関数の関数としての基本的な性質として、以下が成り立つ。

$ (I) \quad f(0) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t)dt

$ proof)

よって、

$ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t)dt &= \int_{-\infty}^{\infty}f(0)\delta(t)dt \\ &= f(0)\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt \\ &= f(0) \end{aligned}

$ (I\hspace{-.1em}I) \quad f(a) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t - a)dt

$ proof)

$ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t - a)dt &= \int_{-\infty}^{\infty}f(x + a)\delta(x)dx \\ &= f(a)\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)dx \\ &= f(a) \end{aligned}

$ proof)

$ \begin{aligned} f(t) &= f[n_1]\delta(t - n_1) + f[n_2]\delta(t - n_2) + \cdots + f[n_N]\delta(t - n_N) \\ &= \sum_{n \in \{n_1, n_2, \dots, n_N\}}f[n]\delta(t - n) \end{aligned}

$ f(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}f[n]\delta(t - n)

となる。

https://scrapbox.io/files/5fc3b4d216ae77001ccf077c.jpg

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$ \begin{aligned} F(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}(\sum_{n = -\infty}^{\infty} f[n]\delta(t - n))e^{-j\omega t}dt \\ &= \sum_{n = -\infty}^{\infty}f[n]\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t - n)e^{-j\omega t}dt \\ \therefore F(\omega) &= \sum_{n = -\infty}^{\infty}f[n]e^{-j\omega n} \cdots (9) \end{aligned}

となり、積分形式から総和形式に変化したことで、不連続な関数についても、近似的にフーリエ変換を計算することができる。

$ \begin{aligned} F(\omega + 2\pi) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}f[n]e^{-j(\omega + 2\pi) n} \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}f[n]e^{-j\omega n}e^{-j2\pi n} \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}f[n]e^{-j\omega n}(\cos(2\pi n) - j\sin(2\pi n)) \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}f[n]e^{-j\omega n} \\ &= F(\omega) \end{aligned}

https://scrapbox.io/files/5fb7132801f152001e7d8503.jpg

$ f[n] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F(\omega)e^{j\omega n}d\omega \cdots (10)

$ proof)

$ \begin{aligned} \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F(\omega)e^{j\omega n}d\omega &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\sum_{m=-\infty}^{\infty}f[m]e^{-j\omega m})e^{j\omega n}d\omega \\ &= \frac{1}{2\pi}\sum_{m=-\infty}^{\infty}f[m]\int_{-\pi}^{\pi}e^{j\omega (n - m)}d\omega \\ &= (\ast) \end{aligned}

$ \begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}e^{j\omega(n - m)}d\omega &= \frac{1}{j(n - m)}\left[e^{j\omega (n - m)}\right]^{\pi}_{-\pi} \\ &= \frac{1}{j(n-m)}(e^{j\pi (n-m)} - e^{-j\pi(n-m)}) \\ &= \frac{1}{j(n-m)}(\cos(\pi(n-m)) + j\sin(\pi(n-m)) - \cos(\pi(n-m)) + j\sin(\pi(n-m))) \\ &= \frac{2\sin(\pi(n-m))}{n-m} \\ &= 0 \quad (\because n, m \in \mathbb{Z} \Rightarrow \sin(\pi(n-m)) = 0 \end{aligned}

$ (\ast) = \frac{1}{2\pi}f[n]2\pi = f[n]

よって、成り立つ。

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$ F[k] = \sum_{n = 0}^{N - 1}f[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} (k = 0, 1, \cdots, N - 1) \cdots (11)

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$ f[n] = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N - 1}F[k]e^{j\frac{2\pi}{N}kn}(n = 0, 1, \cdots, N - 1) \cdots (12)

$ proof)

$ \begin{aligned} \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}F[k]e^{j\frac{2\pi}{N}kn} &= \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}(\sum_{m=0}^{N-1}f[m]e^{-j\frac{2\pi}{N}km})e^{j\frac{2\pi}{N}kn} \\ &=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1}f[m]\sum_{k=0}^{N-1}e^{-j\frac{2\pi}{N}k(n-m)} \\ &= (\ast) \end{aligned}

$ \sum_{k=0}^{N-1}e^{-j\frac{2\pi}{N}k(n-m)} = \frac{1 - (e^{-j\frac{2\pi}{N}k(n - m)})^N}{1 - e^{-j\frac{2\pi}{N}k(n - m)}} = \frac{1 - 1}{1 - e^{-j\frac{2\pi}{N}k(n - m)}} = 0 \quad (\because k, n, m \in \mathbb{Z} \Rightarrow e^{j2\pi k(n-m)} = 0)

$ (\ast) = \frac{1}{N}f[n]N = f[n]

よって、成り立つ。

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まとめ

ここまで、フーリエ級数展開、フーリエ変換、離散時間フーリエ変換、離散フーリエ変換について確認した。

ここで、関数の周期性と連続性に関してまとめると、次のような関係性である（左側が元の関数、右側が変換後の関数）。

table: 関係性

連続性 周期性 連続性 周期性

連続 周期 ←フーリエ級数展開→ 不連続 非周期

連続 非周期 ←フーリエ変換→ 連続 非周期

不連続（一定間隔で値を取る） 非周期 ←離散時間フーリエ変換→ 連続 周期

不連続（一定間隔で値を取る） 周期 ←離散フーリエ変換→ 不連続 周期

元の関数が周期的な関数の場合、変換後では必ず不連続になる。

これは、ある周期的な関数を表現する場合、ある周波数の整数倍の周波数に基づく周期関数を、強さを表すスペクトルと共に足し合わせることで表現できるということである。

元の関数が不連続な関数の場合、変換後では必ず周期的になる。

Reference