イプシロン-エヌ論法、イプシロン-デルタ論法
イプシロン-エヌ論法（数列の収束）
数列$ (a_n)_{n = 1}^{\infty}が実数$ \alphaに収束するとは、任意の実数$ \varepsilon>0に対してある自然数$ Nが存在し、$ n \geq Nである任意の自然数$ nに対して$ |a_n-\alpha|<\varepsilonが成り立つときにいう。
これを論理記号を使って定義すると、
$ \lim_{n\to \infty}a_n = \alpha \quad or \quad a_n \to \alpha(n\to\infty)$ \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}$ \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} \;s.t.\; n \geq N \Rightarrow |a_n - \alpha| < \varepsilon
（$ s.t.はsuch that ~の略であり、～となるような、という意味でありカンマでも問題はない）
となる。
つまり、ある数列$ a_nを考えたとき、どれだけ小さな数字$ \epsilon > 0を考えても、ある自然数$ Nが存在して$ Nより十分に大きい数$ nを考えると、$ a_nとある数$ \alphaとの絶対値が$ \epsilonより小さくできる場合がある、ということである。
$ a_nと$ \alphaとの絶対値が、どれだけ小さな数$ \epsilonより小さくできるとき、$ a_nは$ n\to\inftyで$ \alphaに収束すると定める。
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例題
$ \alphaを実数として、数列$ \{a_n\}は$ \lim_{n\to\infty}a_n = \alphaであるとする。$ s_n = \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}として、$ \lim_{n\to\infty}s_n=\alphaであることを示せ。
解）
$ \epsilon>0を考え、$ n\geq N' \Rightarrow |s_n-\alpha|<\epsilonとなる$ N'\in \mathbb{N}を求める。
$ \left|s_n-\alpha\right| = \left|\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}-\alpha\right| = \left|\frac{a_1+\cdots+a_n-n\alpha}{n}\right| = \left|\frac{(a_1-\alpha)+\cdots+(a_n-\alpha)}{n}\right| \cdots (1)
ここで、$ \epsilonに対して、仮定より$ n\geq N \Rightarrow|a_n-\alpha|<\epsilonとなる$ Nが存在する。
よって、$ n \geq Nのとき、式$ (1)について$ N以上の$ nと$ N以下の$ nで分けると、
$ \begin{aligned} (1) &= \left|\frac{(a_1-\alpha)+\cdots+(a_{N-1}-\alpha)+(a_N-\alpha)+(a_{N+1}-\alpha)+\cdots+(a_n-\alpha)}{n}\right| \\ &\leq \left|\frac{(a_1-\alpha)+\cdots+(a_{N-1}-\alpha)}{n}\right|+\frac{\left|a_N-\alpha\right|+\cdots+\left|a_n-\alpha\right|}{n} \quad (\because\alpha,\beta\in\mathbb{C},|\alpha+\beta|\leq|\alpha|+|\beta|) \\ &< \frac{A}{n}+\frac{\epsilon(n-N+1)}{n} \quad (\because|a_N-\alpha|,\dots,|a_n-\alpha| < \epsilon \; (n > N), \;(a_1-\alpha)+\cdots+(a_{N-1}-\alpha) = A) \\ &< \frac{A}{n}+\epsilon \quad (\because \frac{n-N+1}{n} < 1) \end{aligned}
このとき、
$ \forall\epsilon>0, \exists N_1\in\mathbb{N} \;s.t.\; n\geq N_1 \Rightarrow \left|\frac{A}{n}-0\right|<\epsilon \quad (\because \lim_{n\to\infty}\frac{A}{n} = 0)
を満たすため、与えられている$ \epsilonに対して、$ n\geq N_1\Rightarrow \frac{A}{n}<\epsilonとなる$ N_1\in\mathbb{N}が存在する。
よって、$ n\geq\max\{N,N_1\}のとき
$ |s_n-\alpha|<\frac{A}{n}+\epsilon < \epsilon+\epsilon=2\epsilon
を満たすため、$ N' = \max\{N,N_1\}とすると、
$ n\geq N'\Rightarrow |s_n-\alpha|<2\epsilon
が成り立つため
$ \lim_{n\to\infty}s_n=\alpha
は成り立つ。
イプシロン-デルタ論法（関数の収束）
$ a, c\in\mathbb{R}として、$ xが$ aに近付くとき、関数$ f(x)の値が$ \alphaに近付く（収束する）とは、任意の実数$ \varepsilon>0に対して任意の実数$ \delta>0が存在して$ |x-a|<\deltaならば$ |f(x)-\alpha|<\varepsilonが成り立つときにいう。
これを論理記号を使って定義すると、
$ \lim_{x\to a}f(x) = \alpha $ \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}$ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0 \;s.t.\; 0 < |x-a|<\delta \Rightarrow \left|f(x)-\alpha \right| < \epsilon
となる。
なお、$ xが$ \inftyに近づくとき、関数$ f(x)の値が$ \alphaに近付くときは、$ \epsilon-N論法より
$ \lim_{x\to\infty}f(x) = \alpha $ \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}$ \forall\epsilon>0,\exists L>0 \;s.t.\; x>L \Rightarrow \left|f(x)-\alpha \right| < \epsilon
と定義される。
つまり、ある関数$ f(x)を考えたとき、どれだけ小さな数字$ \epsilon > 0を考えても、ある数$ \delta > 0が存在して$ 0<|x-a| < \deltaを満たす$ aが存在するとき、$ f(x)とある数$ \alphaとの絶対値が$ \epsilonより小さくできる場合がある、ということである。
$ f(x)と$ \alphaとの絶対値が、どれだけ小さな数$ \epsilonより小さくできるとき、$ f(x)は$ x\to aで$ \alphaに近付くと定める。
ここで、$ f(x)が$ \lim_{x\to a}f(x) = f(a)を満たすとき、$ f(x)が$ x = aで連続であるという。
よって、$ f(x)が区間$ Iで定義され、$ a\in Iのとき
$ f(x)が$ aで連続 $ \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}$ \forall\epsilon>0, \exists\delta>0 \;s.t.\; 0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left|f(x)-f(a)\right|<\epsilon
となる。
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例題
区間$ [0, \infty) で定義される関数$ f, gを考える。$ f(x) \neq 0であり、$ fは有界である。$ \lim_{x\to\infty}\frac{g(x)}{f(x)}=0のとき、$ \lim_{x\to\infty}g(x)=0であることを示せ。
解）
まず、$ fは有界なので$ \exists L>0 \;s.t.\; \forall x\in\mathbb{R}, |f(x)|<Lとなる$ Lが存在し、$ \lim_{x\to\infty}\frac{g(x)}{f(x)}=0なので$ \forall \epsilon_0>0,\exists M>0 \;s.t.\; x>M \Rightarrow \left|\frac{g(x)}{f(x)}\right|<\epsilon_0を成り立つ。
このとき、$ \lim_{x\to\infty}g(x)=0より$ \forall\epsilon>0, \exists N>0 \;s.t.\; x>N \Rightarrow |g(x)| < \epsilonが成り立つことを示す。
ここで、$ x > Mのとき$ |g(x)| < \epsilon_0|f(x)| < \epsilon_0Lとなるので、任意の$ \epsilonを考え$ L\epsilon_0 = \epsilonとすることで$ \epsilon_0 = \frac{\epsilon}{L}を考えと
$ \exists M > 0 \;s.t.\; x > M\Rightarrow \left|\frac{g(x)}{f(x)}\right| < \frac{\epsilon}{L}
である。
$ N = Mとすると、$ x > Nのとき
$ |g(x)| < \frac{\epsilon}{L}|f(x)| < \frac{\epsilon}{L}L = \epsilon
よって、成り立つ。
Reference