指数法則
モノイド$ Mにおいて指数$ a\in\Nを以下のように定める。
$ \forall x\in M
$ x^0=1_M
$ x^a=\underbrace{x\cdot\,\cdots\,\cdot x}_{a\ {\footnotesize個}}
モノイド$ Mにおいて、指数に関して以下の式（指数法則）が成立する。
$ x^{a+b}=x^a\cdot x^b
$ x^{a+b}=x^{b+a}なので
$ x^a\cdot x^b=x^b\cdot x^a
$ x^{ab}=(x^a)^b
$ x^{ab}=x^{ba}なので
$ (x^a)^b=(x^b)^a
群$ Gにおいて指数を整数に拡張する。
$ \forall x\in G
$ x^0=1_G
$ x^{-1}\cdot x=1_G
$ x^a=\underbrace{x\cdot\,\cdots\,\cdot x}_{a\ {\footnotesize個}}
$ x^{-a}=(x^{-1})^a
群$ Gについても指数法則が成立する。
指数を有理数に拡張すると
$ (x^{\frac1a})^a=x