部分群
群$ Gの部分集合$ H\sube Gが群を成すことがある。
群$ Gの任意の要素を定数$ m乗したものの集合を$ Hとおく
$ h=g^m\in H
群の定義を満たすことの確認
結合律：$ (h_1h_2)h_3=(g_1^mg_2^m)g_3^m=g_1^m(g_2^mg_3^m)=h_1(h_2h_3)
単位元：$ e=g^0\in H
逆元：$ h^{-1}=g^{-m}\in H
指数は$ m=\frac{\#H}{\#G}を満たす。
指数を$ \lbrack G:H\rbrack=mで表す
$ \#H=\# Gのとき、$ Hは$ Gを置換したものになる。
要素の順番が異なるため$ H=Gとは言えない。
同型ではあるので$ H\simeq Gと書ける。
$ \# H<\# Gのとき、$ Hは$ Gの真部分群となる。
まず$ H\sube Gかつ$ \#H<\#Gなので$ H\sub Gといえる。
$ H_0\ne Hと$ Hが同型である場合、
$ H_0\not\sub Gであるが$ H_0\simeq H\sub Gを満たす。
これを$ H_0\preceq Gで表す。
部分群と直積群は異なる。