直積群 - Summer498 の頭ん中

直積群

群$ (F,1_F,\cdot)と群$ (G,1_G,\cdot)の集合としての直積$ H=F\times Gに群の演算を導入した群$ (H,1_H,\cdot)を群としての直積という。

結合律：$ (h_1h_2)h_3=h_1(h_2h_3)

$ \{(f_1,\ g_1)(f_2,\ g_2)\}(f_3,\ g_3)

$ =(\{f_1f_2\}f_3,\ \{g_1g_2\}g_3)

$ =(f_1\{f_2f_3\},\ g_1\{g_2g_3\})

$ =(f_1,\ g_1)\{(f_2,\ g_2)(f_3,\ g_3)\}

単位元：$ 1_Hh=h1_H=h

$ (1_F,1_G)(f,g)=(1_Ff,\ 1_Gg)=(f,g)

$ (f,g)(1_F,1_G)=(f1_F,\ g1_G)=(f,g)

逆元：$ h^{-1}h=hh^{-1}=1_H

$ (f^{-1},g^{-1})(f,g)=(f^{-1}f,g^{-1}g)=(1_F,1_G)

$ (f,g)(f^{-1},g^{-1})=(ff^{-1},gg^{-1})=(1_F,1_G)

$ F\simeq F\times\{1_G\}\trianglelefteq F\times G

$ G\simeq\{1_F\}\times G\trianglelefteq F\times G