写像 - Summer498 の頭ん中

写像

関係 (relation)

$ f0\subset X\times Y

$ ^{\exist x\in X,\ \exist y\in Y}\lbrack(x,y)\in f\rbrack

https://gyazo.com/cbfaecdf759c0c742ed0594f4191e70c

ニ部グラフとして理解することができる

$ V=X\cup Y,E\sub X\times Y,G=(V,E)

$ ^{\forall e\in E,\exist x\in X,y\in Y}\lbrack e=(x,y)\rbrack

$ Xのみに着目した際に全域性と唯一性について考えられる。

この用語があると便利なので作った。

全域性：$ ^{\forall x\in X,\exists e\in E}\lbrack x\in e\rbrack

唯一性：$ ^{\forall x_1,x_2\in E}\lbrack x_1=x_2\ \Rightarrow\ e_1=(x_1,y_1)=e_2=(x_2,y_2)\rbrack

写像：写像$ f:X\to Yは始域の任意の要素$ x\in Xを終域の唯一つの要素$ y\in Yに対応付ける。

始域に関する全域性：$ ^{\forall x\in X,\exist y\in Y}\lbrack y=f(x)\rbrack

始域に関する唯一性：$ ^{\forall x_1,x_2\in X}\lbrack x_1=x_2\Rightarrow f(x_1)=f(x_2)\rbrack

図式：$ X\overset{f}\rightarrow Y

恒等写像：$ 1_X(x)=x,\ 1_Y(y)=y

合成：$ h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f=h\circ g\circ f

https://gyazo.com/ab7ff37e53c02b00425fc1a36faf89de

全射：写像$ f:X\to Yにおいて、終域の任意の要素$ y\in Yに対応する始域の要素$ x\in Xが存在

始域に関する全域性：$ ^{\forall x\in X,\exist y\in Y}\lbrack y=f(x)\rbrack

始域に関する唯一性：$ ^{\forall x_1,x_2\in X}\lbrack x_1=x_2\Rightarrow f(x_1)=f(x_2)\rbrack

終域に関する全域性：$ ^{\forall y\in Y,\exist x\in X}\lbrack y=f(x)\rbrack

図式：$ X\overset{f}\twoheadrightarrow Y

集合の大きさは$ \#X\ge\#Y

$ Yを始域とする写像$ g_1,g_2により全射性を定義できる

$ ^{\forall g_1,g_2:Y\to Z}\lbrack g_1\circ f=g_2\circ f\Rightarrow g_1=g_2\rbrack

https://gyazo.com/90761da9495143cbedee994177da784a

証明：下方 (エピ射と全射の同値性の証明) に記す

単射：写像$ f:X\to Yにおいて、終域の要素$ y\in Yに対応する始域の要素$ x\in Xが唯一つ存在

始域に関する全域性：$ ^{\forall x\in D,\exist y\in C}\lbrack y=f(x)\rbrack

始域に関する唯一性：$ ^{\forall x_1,x_2\in D}\lbrack x_1=x_2\Rightarrow f(x_1)=f(x_2)\rbrack

終域に関する唯一性：$ ^{\forall x_1,x_2\in D}\lbrack x_1=x_2\Leftarrow f(x_1)=f(x_2)\rbrack

図式：$ X\overset{f}\hookrightarrow Y

集合の大きさは$ \#X\le\#Y

$ Xを終域とする写像$ \phi_1,\phi_2により単射性を定義できる。

$ f\circ \phi_1=f\circ \phi_2\Rightarrow \phi_1=\phi_2

https://gyazo.com/f0596de6fba80862d9585dff19e06903

全単射：写像$ f:X\to Yにおいて、終域の任意の要素$ y\in Yを始域の唯一つの要素$ x\in Xに対応付ける。

全域性：$ ^{\forall x\in D,\exist y\in C}\lbrack y=f(x)\rbrack

唯一性：$ ^{\forall x_1,x_2\in D}\lbrack x_1=x_2\Rightarrow f(x_1)=f(x_2)\rbrack

全射性：$ ^{\forall y\in Y,\exist x\in X}\lbrack y=f(x)\rbrack

単射性：$ ^{\forall x_1,x_2\in D}\lbrack x_1=x_2\Leftarrow f(x_1)=f(x_2)\rbrack

図式：$ X\overset{f}\leftrightarrow Y

エピ射と全射の同値性の証明

証明

$ ^{\forall g_1,g_2:Y\to Z}\lbrack g_1\circ f=g_2\circ f\Rightarrow g_1=g_2\rbrack\quad\Leftrightarrow\quad fは全射　　を示す。

命題が$ (P\Rightarrow Q)\Leftrightarrow Rの形になっている。

このため$ Pを満たすようにすることで命題を$ Q\Leftrightarrow Rにして証明しやすくする。

次のような写像を定義すると確認できる

$ z_0\ne z_1,z_0\ne z_y,z_1\ne z_yとする。

$ g_1(y)=\begin{cases}z_y&(y\in f(X))\\z_1&(y\notin f(X))\end{cases}

$ g_2(y)=\begin{cases}z_y&(y\in f(X))\\z_2&(y\notin f(X))\end{cases}

$ g_1,g_2は$ Y全域で定義されており、任意の$ y\in Yに唯一つの要素$ z\in Zを対応させているため写像の定義を満たす。

また、

$ ^{\forall x\in x}\lbrack(g_1\circ f)(x)=z_{f(x)}\rbrack

$ ^{\forall x\in x}\lbrack(g_2\circ f)(x)=z_{f(x)}\rbrack

より

$ g_1\circ f=g_2\circ fである。

ここで、

$ fが全射$ \Leftrightarrow$ z_1\in g_1

$ fが全射$ \Leftrightarrow$ z_2\in g_2

$ z_1\ne z_2より

$ fが全射$ \Leftrightarrow$ g_1=g_2

よって

$ ^{\forall g_1,g_2:Y\to Z}\lbrack g_1\circ f=g_2\circ f\Rightarrow g_1=g_2\rbrack\quad\Leftrightarrow\quad fは全射