SNNNの補題
出典
s(n)をn番目のSNNN数, pを7以上の素数とする時, 次が成り立つ.
s(n) ≡ s(n+p-1) mod p
ex) n=5, p=19の時, s(5) ≡ s(23) ≡ ... ≡ 0 mod 19
Note
Lem. 1 (formal)
$ \forall n\in\mathbb{N}. $ p\in\mathbb{P}. $ 7\lt p\implies S(n)\equiv S(n + p - 1)\pmod p.
逆は示されていない? 自然に使われているように見えるが本当に未証明かどうかは要確認
Proof
$ S(n + p-1)\equiv (34\cdot 10^{p-1}\cdot 10^n - 7) / 9\equiv (34\cdot 10^n - 7) / 9\equiv S(n)\pmod p. $ \Box