3777番目のSNNN数は3777を約数にもつ
Statement (formal)
$ 3777\mid S(3777).
Proof
3777 = 3 * 1259より命題は$ 3\mid S(3777)\land 1259\mid S(3777)と言い換えられる. $ S(3) = 3777であることに注意すると, 3n番目のSNNN数は3を約数にもつと倍数法則の存在に関する必要十分条件より$ \forall k\in \mathbb{N}.\ 3\mid S(3 + 1258k)\land 1259\mid S(3 + 1258k)が成立. $ 3777 = 3 + 1258\cdot 3より$ 3777\mid S(3777). $ \Box 3n番目のSNNN数は3を約数にもつと倍数法則の存在に関する必要十分条件はいずれも同値条件であるから, $ \forall n\in\mathbb{N}. $ (3\mid n)\land(\exists k\in\mathbb{N}.\ n = 3 + 1258k) \iff 3777\mid S(n). $ 3777 = 3 + 1258\cdot 3より$ k = 0, 1, 2についてそれぞれ3で割り切れるかどうかを見ればよく, 以下に示すとおり3で割り切れるのは$ k = 0の場合のみ. したがって$ \forall n\in\mathbb{N}. $ 3\lt n\lt 3777\implies 3777\nmid S(n). $ \Box $ k = 0: $ S(3) = 3777
$ k = 1: $ 1258 \equiv 1\pmod 3より3で割り切れない
$ k = 2: $ 1258\cdot 2 \equiv 2\pmod 3より3で割り切れない