流体力学

授業の目次

水や空気など流体の運動を支配する法則について学び，流体工学の基礎的な考え方を習得する．

１　流れの基本的性質

２　流れの計測と可視化

３　流れの支配方程式と境界条件

４　近似解法とその応用

1.流れの基礎

・ラグランジュ表記とオイラー表記

オイラー表記:空間に座標系を固定して流れを見る

ラグランジュ表記:流体状の物質店に座標系を固定して見る

定常流:流れ全体が時間によって変化しない流れ

非定常流:時間に依存して変化する流れ

・流脈、流跡、流線

・粘性と流れ

2.流菅に沿う流れ

・質量の保存（連続の式）

・エネルギー保存

・損失

・よどみ点圧力とベルヌーイの定理

・損失のある場合

・機械仕事のある場合

3.運動量法則と角運動量法則

・運動量法則

・運動量法則の適用例

・角運動量法則

4.流体の支配方程式

・流れ場の未知量と方程式

・質量の保存（連続の式）

・運動方程式の導出

・NS方程式の簡単な解の例

5.流れを特徴付ける指標

・レイノルズ数

・マッハ数

・ストローハル数

・クヌーセン数

・抗力と揚力

授業の目次2

理想流体，粘性流体の流れについて，基礎理論を学習しながら物理現象への理解を深め，流れを数値的，実験的に解析するための基礎知識を修得する．

０．序論

流体，流体運動の記述，レイノルズ数，層流と乱流

(*) 流線，流跡，流脈

１． 基礎方程式

テンソル表示，ニュートン粘性，構成方程式　　　　　　　　　　　　　　　　

２．流れ現象の解析・予測法

２．１　解析・予測法

２．２　無次元化と相似則

３． ＮーＳ方程式で表される流れと熱伝達

３．１　流体の運動学

３．２　非粘性・非回転流れ

３．３　管内の流れと熱伝達

３．３．１　円管内層流

３．３．２　平行平板間層流

３．４ 境界層

３．４．１ 境界層近似

３．４．２ 平板境界層

３．４．３ はく離

(*) 円柱、球の抵抗

４　乱流

４．１　乱流への遷移

４．２　レイノルズ応力と乱流粘性

1.流体運動の記述

弾性変形：メモリ完全

無限変形：ゼロメモリ

並進と回転を考える剛体に加えて、互いに直行する３つの方向の伸縮を考えると連続体になる

記述方法にはラグランジュ方式と、オイラー方式がある

流線：角一での測度の方向を重ねた線

流跡：特定の流体の微小部分が移動する経路

流脈：特定の点を通過した流体部分をつなげた線

2.保存則

質量保存

3.流れ現象の解析・予測法

・なぜテンソルを使うか

テンソルは分子１つ１つの運動を記述するのではなく、分子の大きな集団をマクロ的に捉えて物質の力学的挙動を解析する方法である連続体力学に用いられる。そして物質の各部に働く力と変形との関係を記述するとき、質点の運動とは異なる手続きが必要になる。

変形の特性を表す量Tを変形テンソルという。ベクトルが座標系の取り方によらないように、変形テンソルも物体の変形の挙動を表す座標系によらない存在と考えられる。このような変形によって物体内部に働く力は応力テンソルで表され、応力テンソルと変形テンソルの関係もテンソルで表される。

また、ベクトルをベクトルに線形変換するものをテンソルと定義しても良い。

しかし、テンソルは連続体の運動に物理的な意味を持ち、その表記方法の工夫で計算の量を減らせるので、一般的に行列で書かずに、２つの添え字をつけて書く。

一般のテンソルに対して、S_ijとA_ijのように対称部分Sと反対称部分Aに分けて考えることが多い。

Sを対称テンソル、Aを反対称テンソルという。

例えば、変形テンソルをこのように分けると対称部分は、実質的な変形を表し、反対称部分は変形を伴わない局所的な回転を表している。任意の対象テンソルと反対象テンソルにおいて、S_ijA_ij=0である。

計測手法

(A)実験と相関法

・点計測

圧力：圧力変換器

速度：ピトー管、熱線流速計、レーザー流速計

温度：温度計

・場計測

可視化、画像流速計

(b)理論・数値解析

(1)解析解

支配方程式の厳密な数学的解を求める

非粘性・非回転流：ポテンシャル理論

層流解

(2)近似解現実的な仮定や近似を導入して解析解を求める

境界層近似、くさび流れの解、積分方程式

(3)数値解

・直接計算：ナビエストークス方程式の境界値問題

層流を扱う上では最も一般的、Reが高くなると困難、特に乱流では難しい

離散化の方法、収束解の求め方など数値計算法の精度が重要

乱流モデルを用いた計算

(4)境界条件

界面条件：物理量の連続性、流束の連続性

無次元数と相似則

4.NS方程式で表される熱伝達(非圧縮性流体)

渦度と回転テンソルは１対１に対応する。

反対称テンソルにおいて、軸性ベクトルとテンソルが一対一に対応する（双対関係）

渦度が0ならば循環は0となり、その流れを渦なし流れという。これをポテンシャル流れという。（ベクトル解析と関係ありそう）

45非粘性・非回転流れ

———————メモ------------------

物体の周りの流体運動は慣性力、粘性力、圧力の３つの釣り合いの上に成り立っている。

運動量損失は周囲の一様流に対して遅くなった分の総和。

教科書メモ(流体力学1)

流体力学Ⅰ

1章 流れの基礎

流体力学では全ての流れを連続体の変形の問題として一般的に取り扱い、これに及ぼす連続体の力学的特性の影響を明らかにすることによって液体も期待も共通の理論で理解するよう試みる

ただし、真空装置や超高空のように低圧、低密度のときは連続体の仮定が成り立たなくなる

クヌッセン数で判断する

粘性の影響はレイノルズ数という無次元数によって支配される

圧縮性はマッハ数で考える

等速直線運動あるいは等角速度運動を行う座標系に変換することによって定常流に変わるような流れは全て定常流とみなす

2章 静止流体の力学

任意の曲面に働く全圧力は曲面をx,y,z方向に投影して個別に考えることによって成分が決定される

3章 流管に沿う流れ

連続の式

エネルギ保存

損失

菅摩擦損失

入り口損失

急縮小損失

圧縮流に対するエネルギー保存の式

ポテンシャルエネルギーの変化は無視できる

その代わり内部エネルギーが温度のみでかける

4章 運動量法則と角運動量法則

流線あるいは流菅のかたちがわかっているときはそれに沿う流れは前章で理解できた

ここでは流れ場の一部分を取り囲むように閉曲面を設定し、内部の流動に立ち入ることなく境界のみの関係に着目して流れ場のマクロな性質を明らかにする

運動量法則

角運動量法則

5章 流体計測

圧力測定

流速測定、流向き測定

流量測定

6章 流体運動の記述

流れ場の未知量と方程式

連続の式

流体変形の形

流体の加速度

質量力

表面力

運動方程式

境界条件

NS方程式の解

三次元定常流の乱流がNS方程式の解になっていることを直接証明することは難しいが、そのような考え方に指定矛盾する事実は発見されていない

7章 相似則

複雑な物理現象をより基本的な変数の影響としてとらえ、少しでも一般性のある結論を導くための手段が相似則である

次元解析

運動方程式から導く相似則

相似則の応用

8章 理想流体の流れ

速度ポテンシャルのイメージ

OからPまで動いた時に流ればから受ける影響

渦がないときに定義できる

というのも、経路によらないことが必要

ストークスの定理で結び付けられる

等ポテンシャル面を見れば流れが可視化できる

流れ関数について

理想流体と実際の流れ

理想流体は圧縮性も粘性もない

圧縮性はあるが粘性がない流体は完全流体

内部流では至るとこ路で粘性項が主役を演じているが、外部流では境界層以外は理想流体とみなすことができる

基本的関係式

NS方程式を渦度というものを用いて表すことができた

渦度は流体微小部分の回転角速度の２倍の値

最初渦度が0であればそこから後の流れでは至る所で渦度が0となる

最初回転がなければ永遠に回転がないという性質を持つ流れが渦度のない入り口条件に対しては常に運動方程式を満足するのが理想流体

連続の式を満足する渦なし流れが求める理想流体の流れ

渦なしでは速度ポテンシャルが考えられる

速度は全ての点で等ポテンシャル面と直行している

速度ポテンシャルさえ求まれば、任意の方向の速度成分が直ちに求められる

速度ポテンシャルはそこから導かれる流れが連続の流れを満足するように決定される

そしてそれは与えられた境界条件を満足する調和関数を見出すことに集約される

渦なし流れとポテンシャル流れは同義語

解の重ね合わせも可能

非圧縮の定常流を考えて、オイラーの運動方程式を流線に沿って積分するとベルヌーイの式が出てくる

二次元ポテンシャル流れ

理想流体の渦なし流れで二次元流は数学的に整った形で記述することができる

連続の式から、別の関係を満たす関数の存在も証明される、これが流れ関数である

流れ関数の存在条件は連続の式なので、速度ポテンシャルと異なり、渦のある流れでも考えることができる

これらの間には依存関係がある

等ポテンシャル線と流れ関数も直行する

すなわち流れ関数線の接線と速度ベクトルはあらゆる点で平行である

つまり、理想流体の二次元流は流線群とそれに直行する曲線群で埋め尽くされ、前者は等流れ関数線に、後者は等速度ポテンシャル線に対応する

流れ関数の差はその２本の流線に挟まれた部分を流れる流量に等しいことがわかってしまう

微小領域の循環の大きさは渦度✖️面積

閉曲線に沿う循環は内部に存在する渦度の面積積分に等しい（ストークスの定理）

内部が全て渦なしであれば速度ポテンシャルは一価関数として決まる

さらに複素関数論を用いることでもっと明解になる

z平面上の微小図形は形を相似に保ちつつ、w平面上に写像される

速度ポテンシャルを実数部、流れ関数を虚数部に持つ複素関数を複素ポテンシャルという

uとvを２つの方式で表現でき、これはコーシーリーマンの式に対応している

これは正則関数となる

複素ポテンシャルの自分係数は速度ベクトルの虚軸成分の符号を変えたものになる

与えられた形状の物体周りの二次元非圧縮性ポテンシャル流れはその物体を流線の１つとし、これは物体鏡面上で流れ関数一定となる複素ポテンシャルを見つければ完全に解かれた事になる

単純で基本的な複素ポテンシャルから組み合わせによって複雑な流れの複素ポテンシャルを合成することができる

代表的な流れと複素ポテンシャル

一様流

角を回る流れ

吹き出しと吸い込み

渦

二重吹き出し

鏡像

ブラジウスの公式とクッタジュコフスキーの定理

二次元物体周りに複素ポテンシャルを持つ流れがある時、この流れから物体がうける力の大きさについて一般的な法則を導いてみる

複素ポテンシャルから流体力を求めるための一般的な関係をブラジウスの第一公式という

また、モーメント に関するブラジウスの第二公式も導かれる

これらの式はいずれも正則な被積分関数を閉曲線に沿って積分して得られる

またこれは留数定理によって、被積分関数の一位の極を調べる問題に帰着される

第1項が与えられた一様流、残りは物体の存在による変化分を表す

これを考察すると、ローラン展開した式が吹き出しや渦などの物理的意味が明白な流れと対応していることがわかる

一様流中に置かれた物体周りの流れは物体中の１点に吹き出し、渦、二重吹き出しおよび高次の二重吹き出しを置くことで実現される

それらの強さは物体表面が流線と一致する条件から決定する

すると、揚力を表すクッタジュコフスキーの定理や抗力を表す式が得られる

理想流体の渦なし流れではいつも効力が０になり、これはダランベールのパラドックスと呼ばれる

モーメント には、二重吹き出しの項までが影響を及ぼす

二次元ポテンシャル流れの解法

与えられた形状を持つ二次元物体周りのポテンシャル流れは既に説明した原理の応用として解くことができる

等角写像法：ある変数変換をしてリーマン面で考える

ホドグラフ法：自由流線を持つ流れの解析

特異点解法：特異点としては、その物理的意味が明らかな吹き出しと渦のみに限定し、それらを適切に配置することで任意の流れを作り出す

差分法：数値解析

有限要素法：重みつき残差法とがラーキン法によって理論的根拠が与えられている、差分法と比べ、繰り返し計算を必要としない、複雑な形状の物体に適用しやすいなど

三次元ポテンシャル流れ

二次元ポテンシャル流れの解法には見事な役割を果たした複素関数論も三次元ではm力となる

同様に、ラプラスの式と境界条件を満たす速度ポテンシャルが求まれば三次元ポテンシャル流れが解かれた事になる

三次元では流れ関数 = 一定でも流線を与えることができない

軸対称流では流れ関数によって流面の切り口を記述することができる

流れ関数の2π倍がその回転面の内部を通過する流量に等しいという関係が得られる

9章 渦運動

粘性の寄与が少ない高レイノルズ数の流れの主流部分では、最初回転がなければいつまでも非回転だが、何らかの理由で一度回転を始めるとその回転はなかなか減衰しない

特異点解法によれば、任意物体の流れの渦なし流れは物体表面に沿って配置した渦分布によって引き起こされると考えることもできる

ここでは渦の持つ基本的性質を学ぶ

渦線、渦管および渦糸

渦線とは接線がその点における渦度ベクトルと平行な曲線のこと

流線と速度ベクトルの関係が渦線と渦度ベクトルの関係

渦線の集合が束になると渦管になる

断面な無限に小さい渦管を渦糸という

流管と渦間には強い結びつきがある

非圧縮流では連続の式と同様に、渦度ベクトルについても連続の式が成立する

渦間でも切り口を考えると、貫通量が一致しなければならない

連続の法則から渦管は端を持つことができない

教科書メモ(流体力学Ⅱ)

流体力学Ⅱ

非圧縮ポテンシャル流れで説明できない部分

つまり実在気体の持っている粘性と圧縮性に原因するいろいろな現象の解明に大部分を当てている

1章 粘性のある流れ

粘性流体

全ての流体は本質的には粘性流体だが、場合によっては理想流体におき変えることができる

層流せん断流

速度勾配があるところでは分子の熱運動を媒介として運動量の授受が行われ、気体内に速度差を減らす方向に互いに作用し合う力、せん断応力が発生する

せん断応力の発生は必ずエントロピーの増大を伴い、損失が発生する

乱流せん断流

流体力学の立場では実在の流体を分子レベルでの不均一性・不規則性を空間的に平均化して得られる均質な連続体に置き換えるのが普通である

乱流せん断応力は速度の変分成分の相関で与えられる

乱れの相関を実測して得られた乱流せん断応力は壁から離れたところでは全せん断応力のほとんどを占めている

壁付近では層流せん断応力のみで乱流に匹敵するせん断応力を発生しなければならないので勾配が大きくなっている

乱流については乱流の変動分を除外した平均速度や平均圧力がどのような関係に従うかを考えた方が実用的である

実際に与えられた境界条件で乱流の平均量をとくには変動成分を適切に仮定する必要がある

レイノルズ数

大きさが違っても幾何学的に相似な翼は無次元座標で与える表面の形がまったく同一となることがある

結果的に、乱流でも、レイノルズ数が一致すれば平均量などに関数無次元量や乱れの無次元化された統計的性質は完全に一致する

揚力係数や抗力係数はレイノルズ数のみの関数として決まる

ナビエストークス方程式を与えられた条件のもとで簡単化し、本質をついた近似解を求めるのが普通

レイノルズ数が中程度だと近似が不可能で理論的には最も困難な流れである

中間レイノルズ数の流れでは、一見単純な球や円柱でさえその周りの流れをナビエストークス方程式に基づいて解析的にとくことはできない

レイノルズ数の大きい流れだと粘性項が無視でき、オイラーの運動方程式に従う

その解はポテンシャル流れとなる

流れの場全体をポテンシャル流れだとすると物体表面で流れが付着・静止する実在流体の特質が満足されないのでいかに薄くとも物体表面に境界層を想定することは重要

2章 レイノルズ数の大きい粘性流れ

層流境界層

層流境界層は実用上比較的応用の機会は少ないが、境界層を理解する上には基本的である

運動量が減少するのは壁面の剪断応力によって減速作用を受けるからである

したがって、運動量厚さは壁面せん断応力、物体の抗力、損失など実用上重要な量と直接に関係する

層流境界層が剥離を起こす必要条件は主流に沿って圧力上昇があることである

断面の速度分布をuで記述する代わりに２つの特性値、排除厚さと運動量厚さで記述するとたった２つの情報量で足りる

これらの物性値を決定するのは境界層方程式をとくのに比べて遥かに容易である

乱流境界層

境界層内が層流から乱流に変わるとせん断応力発生の機構が本質的に変化してしまう

このため、境界層内の速度分布は乱流せん断応力に対してつり合いを保つ新しい関係に変化する

乱流は層流に比べて壁面での速度勾配が大きく、せん断応力が大きい

これは摩擦効力や損失が大きいことを意味している

一方、乱れを媒介として十分なエネルギーの補給が行われ、壁面における剥離に対して強い抵抗力を示す

乱流境界層では極めて薄い粘性底層の厚さ程度のあらさが大きな影響を発揮する

このため表面あらさを１つのパラメータとして常に念頭におく必要がある

境界層理論を実際問題に応用する場合、おそらく圧力勾配がある乱流境界層の計算となるだろうが、これは非圧縮流の境界層に関する限り、最も複雑・困難である

大きな剥離を伴う高レイノルズ流れでは主流・剥離域、境界層の３つを考えて流れの場全体を決めなければならない

現在のところ、大きな剥離を伴う流れをとく一般的な方法はない

境界層制御

摩擦抗力を減らすには層流→乱流遷移をなるべく遅らせて、層流境界層の領域を広げれば良い

物体に働く抗力を自然に得られる値より減少させるためには境界層の成長に何らかの人為的な働きかけをする必要がある

トリッピングワイヤは層流剥離に対してのみ効果がある

円菅内の流れ

レイノルズ数は円菅内の層流・乱流を判別する上で重要な役割を果たす

平衡状態に達した層流流れはハーゲン・ポアスイュの流れとして有名で、NS方程式が解ける

噴流と後流

空気中に水が噴出するときは近似的に空気の抵抗が無視できる

しかし水の中に水が噴出するときは別である

鋭く尖った物体の後ろでは乱流境界層が直ちに自由乱流に移行する

これを後流という

3章 圧縮性のある流れ

圧縮性

NS方程式を解く難易度は圧縮性の有無によって本質的に変化する

非圧縮性の場合にとけた円柱の周りのポテンシャル流れですら、圧縮性のある場合に対して厳密解は求められない

液体の体積弾性率は極めて大きい値を持っており、例外なく非圧縮性だと扱える

タービンなどでは圧縮性を考慮する必要がある

またロケットや航空機の周りの流れについても圧縮性が支配的な役割

圧縮性が問題となるような高速気体の流れでは代表レイノルズ数は十分大きな値になる

圧縮性のある流れの問題点は圧縮性を考慮して主流部分を決定する問題と、圧縮性境界層の成長を決定する問題とに分かれる

粘性のある流れに対してレイノルズ数が果たした役割をマッハ数が果たしている

一次元等エントロピー流れ

定常な等エントロピー流れに対してはせん断応力を無視したオイラーの運動方程式が成立する

衝撃波と膨張波

大きな圧力上昇を伴う圧縮波は不連続的に圧力が上昇する衝撃はに移行し、その状態で安定する

二次元等エントロピー流れ

圧縮性気体の二次元流動を規定する関係は連続の式、運動方程式および状態方程式である

4章 非定常な流れ

非定常流の種類

強制非定常流、自励非定常流、波動の３つに大別される

自励振動現象は、強制非定常流の場合のように数学的ではなく、現象の本質をいかに定式化するかという数学以前の問題にある

１次元では振動学の立場から解かれているが、二次元、三次元の自励非定常流では流体力学的な取り扱いが不可欠である

非定常流の基本関係

時間微分項をすべて考慮しなければいけない

非圧縮性の非定常ポテンシャル流れ

波動---水撃現象

Twin vortex computer in fluid flow

一般化流体力学(GHD)

A short introduction to Generalized Hydrodynamics