高校数学で理解しないときついもの
自分の勉強がてら、「特筆して理解すべきだし、これが理解できていないときついもの」をまとめていきます。
回避策がある場合はそれも書きます
数学Ⅰ
展開と因数分解
「足して真ん中、かけて後ろ」$ (x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab
「和と差の積は2乗引く2乗」$ (x+y)(x-y) = x^2 - y^2
「たすき掛けの因数分解」$ (ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd
展開 回避策 : $ (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bdを愚直に使えばOK
分解 回避策 : $ x^2の係数をすべての項に掛ける → $ (x^2の係数)x = Aとして置き換える → 足して真ん中、かけて後ろ → $ Aを戻す → かけた分どこかを割る (参考) 集合と論理
(要素として)含む → $ \in、(集合同士で)包含する → $ \subset
積集合(共通部分) → $ \cap、和集合 → $ \cup
$ p \Rightarrow qが真なら、$ pは$ qであるための十分条件。$ q \Rightarrow pが真なら、$ pは$ qであるための必要条件。
記憶 緩和策 : p⇄qに対して、「pに対して十分必要」と覚えると良いらしい
"逆"は方向反転、"裏"は双方を否定、"対偶"はその両方。
命題証明では対偶を証明してもOK
2次関数
2次関数の一般形は$ y=ax^2+bx+c、標準形は$ y=a(x-p)^2+q。
一般形は、まあそりゃそう。
標準形は$ y=ax^2をずらすことを考える。
y方向にずらすなら、定数項を付け足せばいいので$ +q。
x方向にずらすなら、元々xだったところに調整をかければいい。ごちゃごちゃ計算すると+じゃなくて-になる。
図形と軽量
三角比の直角三角形⊿による定義
記憶 緩和策 : 筆記体で書くとcosが 𝒸 、sinが 𝓈 、tanが 𝓉 で、この筆跡が⊿の辺に概ね対応する(※分母→分子)
三角関数の単位円による定義
記憶 緩和策 : xがcos、yがsin(、tan=cos分のsin)
有名角(30°, 45°, 60°)のsinは、分母2の分子√1→√2→√3 (規則性あり)
記憶 回避策 : 90-45-45の直角三角形が1:1:√2、30-60-90の直角三角形が1:√3:2なのを利用してその場で求めればなんとかなる
sinとcosの関係$ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
tanの$ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}と合わせて使うことが多い
「正弦定理」$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
角のsin(正接)分の対辺の長さ は必ず直径とおなじになる
「余弦定理」$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A
一応「三平方の定理」の拡張ではある
記憶 緩和策 : 証明方針……頂点から垂線下ろす → 分かれた底辺(の片方)を三角関数で表す → 高さの辺が共通してるので三平方の定理から方程式が作れる → がんばる
記憶 緩和策 : 証明方針……ベクトルの内積の分配法則から出せるっぽい
記憶 回避策 募集中($ -2bc\cos Aが永遠に腑に落ちない)
「三角形の面積(正接を使う)」$ S=\frac{1}{2}ab\sin C
高さに相当する垂線をおろしたら$ b\sin Cが出てくる
面積公式を逆に使って半径とか長さを求めることもあるっぽい
内接円の半径、角の二等分線の長さなど？
データの分析
偏差は「平均との差」、分散は「(偏差の2乗)の平均」、標準偏差は「分散の平方根」
x,yの共分散は「(xの偏差 × yの偏差)の平均」、相関係数は「(xの標準偏差 × yの標準偏差)分の(x,yの共分散)」
数学A
場合の数と確率
順列 : $ {}_nC_r、n個の中からr個選んで1列に並べるときの組み合わせの数
nから始めて1ずつ下げながらr個の数の総積になる
階乗 : $ n!、1からnまでの総積
組合せ : $ {}_nP_r、n個の中からr個選ぶときのパターン数
$ {}_nC_r = \frac{{}_nP_r}{r!}になる
確率は気合い
がんばれ！！数えればいける！！！！
整数の性質
倍数判定法
下1桁を見る : 2の倍数(0,2,4,6,8)、5の倍数(0,5)
下2桁を見る : 4の倍数(4×25=100なので下2桁だけで判定してOK)
各桁の和を見る : 3の倍数、9の倍数 (どちらも各桁の和が3,9の倍数になる)
図形の性質
内分は2点間の線分を指定通り分割、外分は2点間の外側で比率が合う位置に点を取る
三角形の五心
重心 : 中線(頂点と対辺の中心)の交点
外心 : 各辺の垂直二等分線の交点
内心 : 各頂角の二等分線の交点
垂心 : 各頂点から対辺におろした垂線の交点
傍心は覚えなくていいと思う
円周角の定理
孤の長さが同じなら円周角は等しい
円周角は中心角の半分
接弦定理
接線と弦が作る角と、弦に対応する孤の円周角は等しい
方べきの定理
円に交わる(or接する)直線について、直線同士の交点から円との交点(2つ)までの長さの積は一致