解の公式をそのまま数値計算に適用することで起こる破綻

数値計算のためのトリックのいい例あんも.icon

$ x^2 -(100000.00001)x + 1 = 0 を解く

2次方程式の解の公式をそのまま利用した数値計算

code:jl

function getroot2(a, b, c)

D = b^2 - 4a*c

root1 = (-b + sqrt(D)) / (2a)

root2 = (-b - sqrt(D)) / (2a)

return root1, root2

end

getroot2(1, -100000.00001, 1) # (100000.0, 1.0000003385357559e-5)

因数分解による方法

$ (x - 10^5)(x - 10^{-5}) = 0

桁落ちによる誤差が生じてしまう

避けた表現にすればよい

ちょっとしたトリックで回避できる

有理化による同値変形

解と係数の関係

code:jl

function getroot2(a, b, c)

D = b^2 - 4a*c

if b > 0

root1 = (-b - sqrt(D)) / (2a)

root2 = (2c) / (-b - sqrt(D)) # 解と係数の関係を用いて c / (a * root1) でもよい

else

root1 = (-b + sqrt(D)) / (2a)

root2 = (2c) / (-b + sqrt(D))

end

return root1, root2

end

getroot2(1, -100000.00001, 1) # (100000.0, 1.0e-5)