虚数単位を指数で表してオイラーの公式を導く

近似式側から求める

$ (a + ib)(x + iy) = i

$ \iff x + iy = b + ia

元の数の実部と虚部を入れ替えればよい

実際の手続き

$ \exp(i)

0.5403023053454471 + 0.8414709851429887im

$ \exp\left(i + \frac{i}{2}\right)

0.07073720073866646 + 0.9974949866692726im

$ \exp\left(i + \frac{i}{2} + \frac{i}{2^4}\right)

0.008296230653758382 + 0.9999655856856071im

$ \exp\left(i + \frac{i}{2} + \frac{i}{2^4} + \frac{i}{2^7}\right)

0.00048382580104173404 + 0.9999998829555967im

処理の条件がありそう？

残りの処理

十分小さいxで成り立つ近似式で定める

$ e^{ix} \simeq 1 - \frac{1}{2}x^2 + ix

code:jl

expi(x) = 1 - 1/2 * x^2 + im * x

expi(0.00048382580104173404)

$ \exp\left(i + \frac{i}{2} + \frac{i}{2^4} + \frac{i}{2^7} + 0.00048382580104173404 i\right)

3.388673890103444e-16 + 0.9999999999993133im

指数の値

$ 1 + 1/2 + 1/16 + 1/128 + 0.00048382580104173404

1.5707963258010418

想像を飛躍させる

$ π/2

1.5707963267948966

虚数単位を指数関数で表せた

$ e^{i\pi/2} = i

3.14159265_16020836

$ e^{i\pi} = -1

1後退で指数が1/2になる

code:jl

function approx_exp_i(step, backward=0)

step_size = (1/2)^step

z = 1 - 1/2 * step_size^2 + im * step_size

function square_complex(z)

real_part = z.re^2 - z.im^2

imag_part = 2 * z.re * z.im

return real_part + im * imag_part

end

for _ in 1:(step-backward)

z = square_complex(z)

end

return z

end

approx_exp_i.(14, collect(0:14))

approx_exp_i(14)

approx_exp_i(14) * approx_exp_i.(14, 1)

approx_exp_i(14) * approx_exp_i.(14, 1) * approx_exp_i.(14, 4)

approx_exp_i(14) * approx_exp_i.(14, 1) * approx_exp_i.(14, 4) * approx_exp_i.(14, 7)

COordinate Rotation DIgital Computer