自然数論における整数のモデルの定義がwell-definedであることを示す
前提:
$ \Nを全ての自然数の集合として2つの自然数の組$ (p, q)
を考える。集合論の記号では、
$ \N \times \N = \{(p,q)|p,q\in \N \}
と表す。
いま、$ (p_1,q_1)と$ (p_2,q_2)とは$ p_1+q_2=p_2+q_1のとき、同じ類に属すると定義する。
この議論において一番重要な定義あんも.icon
ここでコケるとなにもわからなくなる
和や差を定義することが目的
自然数とその 加法だけを用いて、減法まで可能になるような数のシステム(負の数と0を含む整数全体)をつくりだすことが目的
定義:
$ (p_1,q_1)を含む類と$ (p_2,q_2)を含む類とが与えられたとき、この2つの類との和とは$ (p_1+p_2, q_1+q_2)を含む類のことであり、また、差とは$ (p_1+q_2,q_1+p_2)を含む類のことである。
証明の方針:
$ (p_1,q_1)を含む類を$ C_1、$ (p_2,q_2)を含む類を$ C_2として、$ C_1から$ (p_1,q_1), (p_1+1,q_1+1),(p_1+10,q_1+10),(p_1+100,q_1+100), \cdotsのいずれを取り出してもよいことを示す。$ C_2に対しても同様である。
類$ C_1と類$ C_2の和について、代表の選び方によらずに和を定めることが目的あんも.icon
したがって、
$ (p_1,q_1)と$ (p'_1,q'_1)は同じ類に属し、また$ (p_2,q_2)と$ (p'_2,q'_2)は同じ属に属するならば、$ (p_1+p_2,q_1+q_2)と$ (p'_1+p'_2,q'_1+q'_2)は同じ類に属する
ことを示せばよい。
減法については同様の議論で示すことができる。
組み方を変えればよいあんも.icon
証明:
$ (p_1,q_1)と$ (p'_1,q'_1)は同じ類に属すので、定義より、
$ p_1+q'_1=q_1+p'_1 (=A)
である。その値を$ Aとおく。
同様にして、$ (p_2,q_2)と$ (p'_2,q'_2)についても
$ p_2+q'_2=q_2+p'_2 (=B)
である。その値を$ Bとおく。
ここで、$ (\underline{p_1+p_2},q_1+q_2)と$ (p'_1+p'_2,\underline{q'_1+q'_2})は同じ類に属するかを調べる。
下線部分の組について、
$ (p_1+p_2+q'_1+q'_2)=(p_1+q'_1+p_2+p'_2)=A+B
となる。
下線が引かれていない組について、
$ (q_1+q_2+p'_1+p'_2)=(q_1+p'_1+q_2+p'_2)=A+B
となる。
つまり、
$ (p_1+p_2+q'_1+q'_2)=(q_1+q_2+p'_1+p'_2)
である。
したがって,$ (p_1+p_2,q_1+q_2)と$ (p'_1+p'_2,q'_1+q'_2)は同じ類に属することが示された。$ \Box
例えば、$ (1,3)という組があっても、これが属する類は相手となる組によって、無数に存在するあんも.icon
和が4・5・6・…となる類が考えられる