確率分布
確率
根元事象: $ A_1, A_2, \cdots , A_k
全体で全事象をなし、排反でそれ以上分割できない事象
各々の$ A_k の起こりやすさを表す値$ P(A_k)
すべての$ k について$ P(A_k) が等しいなら、根元事象は同様に確からしい 偏りがあっても確率は定義できるあんも.icon
全事象の確率は1
確率分布
$ P(X = x)
確率変数$ X の確率分布
各$ A_k に実数値$ X = x_k を対応させる
$ X = x となる複数の根元事象を認める
$ P(X=2)=P(1,1)=\frac{1}{36}
$ P(X=3)=P(1,2)+P(2,1)=\frac{1}{36}+\frac{1}{36}
$ P(a\leq X \leq b)=\int_a^bp(x)dx で定義される確率分布
だだし$ P(-\infty\leq X \leq \infty)=1
期待値: $ \mu = E[X] と分散: $ V = V [X] 離散確率分布
$ \mu=E[X]=\sum_ix_iP(x_i)
$ V=V[X]=E[(X-\mu)^2]=\sum_i(x_i-\mu)^2P(x_i)=E[X^2]-\mu^2
連続確率分布
$ \mu=E[X]=\int xp(x)dx
$ V=V[f(X)]=E[(X-\mu)^2]=\int(x-\mu)^2p(x)dx=E[X^2]-\mu^2
標準偏差: $ \sigma=\sqrt{V}
期待値・分散の基本性質
$ E[X + Y] = E[X] + E[Y]
$ E[aX + b] = aE[X] + b
$ V [aX + b] = a^2V [X]
標準化可能な確率分布
標準化可能な確率分布の持つ特徴
有限の平均と分散を持つ
標準化するためには確率分布の平均を0、標準偏差を1にする必要がある
平均と分散が有限である必要がある
シフト不変性を持つ
シフト不変性
確率分布が平行移動しても、その形状が変わらない性質
標準化するためには、確率分布を平均値の周りにシフトする必要がある
対称性を持つ
平均値を中心とした左右対称の形状にできる
標準化できない確率分布
平均値や分散を持たず、シフト不変性や対称性もない
平均値が有限だが、分散が無限大になる
標準化不可能でも、特定の分布に適した形式に変換することは可能
変換やスケーリングを行う
酔わない人: 2割
慣れると酔わなくなる人: 7割
必ず酔う人: 1割
のように言っていた
実際はパレート型の確率分布なるものがあるらしい
確率分布も、関数の基底を変換するように変換可能なのではないかと思った
これはよい見方だったと思う
正確な表現ではないが
確率分布は変数変換可能なものがある