コイントス

コインを投げる

頭と尻尾

表: head

裏: tail

自分の水ポケモンを1匹選ぶ。ウラが出るまでコインを投げ、オモテの数ぶんの水エネルギーを自分のエネルギーゾーンから出し、そのポケモンにつける。

nの偶奇に注意する

カスミ1回で裏がちょうど1回出るので、表の出る回数の期待値も1回

というのが一番シンプルな証明だと思う

直観的な回答

$ \sum_{n=1}^{\infty}nP(n) = \sum_{n=1}^{\infty}n\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}

$ S = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty}(1+n-1)\frac{1}{2^n}

$ = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n} + \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{2^n}

$ = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n} + \frac{1}{2}S

$ \therefore S = 2

$ \because \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2^n})}{1-\frac{1}{2}} = 1

求める期待値は1