拡大行列を基本変形することで逆行列が得られるのはなぜか

逆行列を得る操作で、(係数行列 | 単位行列)の拡大行列を基本変形する方法がある

基本変形がどんな行列であるかに気を取られるとコケてしまうあんも.icon

正則な行列$ A の逆行列$ A^{-1} を得ることを考える

行列$ A に対して、$ PA=I なる行列$ P を仮定する

この時点で、逆行列の定義から$ P が$ A^{-1} に他ならないことは明らかあんも.icon

だが、この$ P は行基本変形の行列の積で表されているので、非明示的になっている

単位行列の性質より、$ I^{-1}=I であるので:

$ PI = PI^{-1} =PP^{-1}A^{-1} = A^{-1} である

つまり、 $ PA=I \iff PI=A^{-1}が成り立つ

これをまとめて拡大行列の形式で表現する:

$ P\begin{pmatrix}A|I\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}I|A^{-1}\end{pmatrix}

$ \begin{pmatrix}A|I\end{pmatrix} に行基本変形を行い、$ \begin{pmatrix}I|A^{-1}\end{pmatrix} の形にすることで、逆行列$ A^{-1} が得られることが示された$ \square