取り尽くし法で放物線と直線で囲まれた部分の面積を得る

from 『虚数の情緒』

積分以前の手法

アルキメデスによる

三角形で面積を取り尽くす

中点で三角形を連鎖的に構成する

最初の三角形の面積を$ s_0 とすれば、面積$ \frac{1}{8^n}s_0 の三角形が$ 2^n 個ずつできていく

$ S_n = s_0 + \frac{1}{4^1}s_0 + \frac{1}{4^2}s_0 + \cdots + \frac{1}{4^n}s_0

面積を巻き取る

$ K_n = 1 + \frac{1}{4^1} + \frac{1}{4^2} + \cdots + \frac{1}{4^n}

自明の関係$ \frac{1}{4} + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{3} から導かれる関係$ \frac{1}{4^t} + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4^t} = \frac{1}{3}\times\frac{1}{4^{t-1}} を用いる

$ K_n + \frac{1}{3}\times\frac{1}{4^n} = \left(1 + \frac{1}{4^1} + \frac{1}{4^2} + \cdots + \frac{1}{4^n}\right) + \frac{1}{3}\times\frac{1}{4^n}

$ \iff K_n + \frac{1}{3}\times\frac{1}{4^n} = \left( 1+ \frac{1}{4} \right) + \frac{1}{3}\times\frac{1}{4^{n-(n-1)}}

$ \iff K_n = \frac{4}{3}\left(1-\frac{1}{4^{n+1}}\right)

2段階背理法

内外で挟んで評価する

アルキメデスの原則

$ \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n+1} = \frac{1}{n} の関係は部分分数分解みたいな操作あんも.icon