前進差分 - じゆうちょう

前進差分

$ \frac{d}{dt}f(t) = \frac{f(t + \Delta t)-f(t)}{\Delta t}+O(\Delta t)

前進差分の導出

$ f(t + \Delta t) の$ t の周りでのテイラー展開を考える:

$ f(t + \Delta t)=f(t)+\frac{d}{dt}f(t)(\Delta t)+\frac{1}{2!}\frac{d^2}{dt^2}f(t)(\Delta t)^2+O((\Delta t)^3)

$ \iff f(t + \Delta t)-f(t)=\frac{d}{dt}f(t)(\Delta t)+\frac{1}{2!}\frac{d^2}{dt^2}f(t)(\Delta t)^2+O((\Delta t)^3)

$ \iff\frac{d}{dt}f(t) = \frac{f(t + \Delta t)-f(t)}{\Delta t}+\frac{\Delta t}{2!}\frac{d^2}{dt^2}f(t)+O((\Delta t)^2)

$ \iff\frac{d}{dt}f(t) = \frac{f(t + \Delta t)-f(t)}{\Delta t}+O(\Delta t) $ \square