冪関数の微分 - じゆうちょう

冪関数の微分

from 冪関数

$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^n = nx^{n-1}

$ x>0 について示せば十分

残りは合成関数の微分で導けるあんも.icon

自然数の指数

二項定理で展開する

code:tex

\begin{aligned}

\Delta y

&= (x + \Delta x)^n - x^n\\

&= x^n +nx^{n-1}\Delta x + \cdots + nx(\Delta x)^{n-1} + (\Delta x)^n -x^n\\

&=nx^{n-1}\Delta x + \cdots + nx(\Delta x)^{n-1} + (\Delta x)^n\\

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}

&= \lim_{\Delta x\to 0}

\frac{nx^{n-1}\Delta x + \cdots + nx(\Delta x)^{n-1} + (\Delta x)^n}

{\Delta x}\\

&=\lim_{\Delta x\to 0}\Big nx^{n-1} + \Delta x(\cdots)\Big\\

&=nx^{n-1}

\end{aligned}

積の微分からも導ける

code:tex

\begin{aligned}

\mathrm{D}_x(x^n)

&= \mathrm{D}_x(x \cdot x^{n-1})\\

&= x^{n-1} + x\cdot \mathrm{D}_x(x^{n-1})\\

&= x^{n-1} + x^{n-1} + x^2\cdot \mathrm{D}_x(x^{n-2})\\

&= 2x^{n-1} + x^2\cdot \mathrm{D}_x(x\cdot x^{n-3})\\

&= 2x^{n-1} + x^{n-1} + x^3\cdot \mathrm{D}_x(x^{n-3})\\

&= 3x^{n-1} + x^3\cdot \mathrm{D}_x(x^{n-3})\\

&\quad\vdots\\

&= (n-1)x^{n-1} + x^{n-1}\cdot \mathrm{D}_x(x^{n-(n-1)})\\

&= (n-1)x^{n-1} + x^{n-1}\cdot \mathrm{D}_x(x)\\

&= nx^{n-1}\\

\end{aligned}

整数全体の指数

$ n が負の整数の場合を示せばよい

$ n = -N とおく

$ y = x^{-N} = \frac{1}{x^N} であるので、商の微分を用いて整理する:

code:tex

\begin{aligned}

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}

&= \frac{1}{(x^N)^2}\leftx^N\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(1) - 1\times \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^N \right\\

&= \frac{1}{(x^N)^2}\Big-Nx^{N-1}\Big\\

&= -Nx^{-N-1}

\end{aligned}

$ -N=n より$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = nx^{n-1}

有理数の指数

$ n を任意の有理数$ n=\frac{k}{m}\; (k\isin\Z, m\isin\N) とする

$ y = f(x) = x^\frac{k}{m} とおくと$ y^m = x^k と表せる

さらに$ g(y) = y^m とおくと、関数$ g は$ y を通じて$ x の関数となる:

$ g(f(x)) = (x^\frac{k}{m})^m = x^k

連鎖律を用いて$ g(f(x)) を$ x で微分する:

code:tex

\begin{aligned}

\mathrm{D}_x\Bigg(f(x)) \Big

&= \Big\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}g(y) \Big \Big\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x) \Big\\

&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}y^m \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\

&= my^{m-1}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}

\end{aligned}

同様に$ x^k を$ x で微分する:

$ (x^k)' = kx^{k-1}

$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} について解いて整理する:

code:tex

\begin{aligned}

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}

&= \frac{kx^{k-1}}{my^{m-1}}\\

&= \frac{k}{m}x^{k-1}(x^\tfrac{k}{m})^{1-m}\\

&= \frac{k}{m}x^{(\tfrac{k}{m}-1)}\\

&= nx^{n-1}

\end{aligned}

実数の指数

両辺の対数をとる:

$ \log y = α \log x

両辺を$ x で微分する:

code:tex

\begin{aligned}

&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log y = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(α\log x)\\

&\iff \frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = α\frac{1}{x}\\

&\iff \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = α\frac{y}{x} = α\frac{x^α}{x} = αx^{α-1}

\end{aligned}