代数系
algebraic system
ある閉じた演算が保証された集合
好ましい性質をもつように定義しておく
$ S \times S \to S
半群: semigroup
閉性
結合法則
二項演算の繰り返しで三項演算を一意に定義できる
モノイド: monoid
単位元のある半群
何もしない演算ができる
集合$ G と1つの演算$ * : $ (G, *)
閉性
$ a*b \isin G
結合法則: associative law
$ (a*b)*c = a*(b*c)
単位元$ e の存在
$ e*a = a
逆元$ a^{-1} の存在
任意の$ a に対して$ a*a^{-1} = e なる$ a^{-1} が存在する
アーベル群: abelian group
可換性: commutative law
$ a*b = b*a
集合$ R と2つの演算
加法: $ (R, +)
そのまま可換群の性質を維持させる
乗法: $ (R, \cdot)
閉性
$ a\cdot b \isin R
結合法則
$ (a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c)
加法と乗法の接続
分配法則: distributive law
code:tex
\begin{aligned}
a\cdot(b + c) &= a\cdot b + a\cdot c,\\
(a+b)\cdot c &= a\cdot c + b\cdot c
\end{aligned}
持っていると好ましい性質
乗法の単位元がある
乗法が可換
行列は非可換環
零因子が存在しない
0を掛けないと0にならない
加法と0を除く乗法について可換群
乗法単位元1がある
0でないすべての元が逆元を持つ
乗法が可換
典型的な体
有理数
乗法について可換群
割り算ができる(乗法の逆元がある)
実数
@END_OF_PAIOTU: 体の拡大をL/Kって書くのは、線形代数でスカラーがKであることを/Kって書く慣習から来てるんじゃないかなと思ってる。L over Kって読むのも同じで、L is a vector space over Kっていう気持ちがあるんじゃないかって思ってる。