中心差分
$ \frac{d}{dt}f(t) = \frac{f(t + \Delta t)-f(t - \Delta t)}{2\Delta t}+O((\Delta t)^2)
中心差分の導出
$ f(t + \Delta t) と$ f(t - \Delta t) の$ t の周りでのテイラー展開を考える $ f(t + \Delta t)=f(t)+\frac{d}{dt}f(t)(\Delta t)+\frac{1}{2!}\frac{d^2}{dt^2}f(t)(\Delta t)^2+O((\Delta t)^3)
$ f(t - \Delta t)=f(t)+\frac{d}{dt}f(t)(-\Delta t)+\frac{1}{2!}\frac{d^2}{dt^2}f(t)(-\Delta t)^2+O((\Delta t)^3)
これらを引くと:
$ f(t + \Delta t)-f(t - \Delta t)=2\frac{d}{dt}f(t)(\Delta t)+O((\Delta t)^3)
$ \iff \frac{d}{dt}f(t) = \frac{f(t + \Delta t)-f(t - \Delta t)}{2\Delta t}+O((\Delta t)^2) $ \square