ベクトルと行列のノルム

$ \|\bm{u}\|\ge0 かつ$ \|\bm{u}\|\iff\bm{u}=\bm{0}

$ \|c\bm{u}\|=|c|\|\bm{u}\|

$ \|\bm{u}+\bm{v}\|\le\|\bm{u}\|+\|\bm{v}\|

これらの関係をみたしてさえいればいいので、さまざまなノルムが定義できる

ベクトルのノルムには$ \|\bm{x}\|_{p}=\left(\sum_{i=1}^n|x_i|^p\right)^{\frac{1}{p}} なる量がよく用いられる

$ p=1 : 絶対和ノルム

$ \|\bm{x}\|_{1}=\left(\sum_{i=1}^n|x_i|\right)

$ \|\bm{x}\|_{2}=\left(\sum_{i=1}^n|x_i|^2\right)^{\frac{1}{2}}

$ \|\bm{x}\|_{2}{}^2 の形でよく用いられる

ベクトルに対しては$ \|\bm{x}\|_{2}{}^2=\bm{x}^T\bm{x} である

$ \|\bm{x}\|_{\infty}=\max_i|x_i|

行列のノルムを$ \|A\|=\max_{\bm{x}\ne\bm{0}}\frac{\|A\bm{x}\|}{\|\bm{x}\|} で定義する

行列のノルムには$ \|A\|_p=\max_{\bm{x}\ne\bm{0}}\frac{\|A\bm{x}\|_p}{\|\bm{x}\|_p} なる量がよく用いられる

$ p=1

$ \|A\|_1=\max_{j}\sum_{i=1}^n{|a_{ij}|}

各列の成分の絶対和のうち最大のもの

$ p=2

$ \|A\|_2{}^2=\max_{\bm{x}\ne\bm{0}}\frac{\bm{x}^TA^TA\bm{x}}{\bm{x}^T\bm{x}}

これで得られるノルム$ \|A\| はスペクトルノルムとよばれ、$ AA^T の最大固有値の平方根になることが知られている

$ p=\infty

$ \max_i|x_i|=1 と仮定すれば: $ \|A\|_\infty=\max_{i}\sum_{j=1}^n{|a_{ij}|}

各行の成分の絶対和のうち最大のもの