『楽しい反復法』
https://gyazo.com/192ddac57d672db1479a81ddd6f975d9
反復計算の原理がわかりそう?あんも.icon
1 簡単な連立方程式を解いてみよう
1.1 直接法
1.1.1 消去法で解く
1.1.2 逆行列を用いて解く
1.2 間接法(反復法)による解法
反復法のアルゴリズムの概観
1. 初期値を与える
2. 反復法の計算を行う
3. 収束判定条件により、解が定まるまで2を繰り返す
反復法による解は近似値であるため、収束判定条件で真値との差の許容範囲を定める
1.2.1 ヤコビ法で解く
1.2.2 ガウス・ザイデル法で解く
1.2.3 SOR法で解く
2 行列の性質⏩
2.1 行列とベクトルと正則性
2.2 ゲルシュゴリンの定理
2.3 ベクトルの内積とノルム
2.4 行列のノルム
2.5 既約
2.6 優対角行列
2.7 非負行列とスペクトル半径
2.8 縮小写像
反復法で目的のものが得られる理由
3 連立方程式の直接解法
3.1 直接解法
3.1.1 前進消去法と後退代入法
3.1.2 ガウスの消去法
3.1.3 LR分解
3.1.4 LDU分解
3.1.5 コレスキー法
3.1.6 1 逆行列
3.2 誤差
3.2.1 絶対誤差と相対誤差
3.2.2 桁落ち
3.2.3 ピボット選択
3.2.4 条件数
4 連立方程式の反復解法
4.1 ヤコビ法
4.2 ガウス・ザイデル法
4.3 SOR法 (Successive Over-Relaxation Method)
4.3.1 SOR法の加速パラメータωの推定
4.4 反復行列
4.5 反復法の収束判定条件
4.6 計算手順
4.6.1 ヤコビ反復法の計算手順
4.6.2 ガウス・ザイデル反復法の計算手順
4.6.3 SOR 反復法の計算手順
5 一般化優対角行列
5.1 高益明の一般化優対角判定法
5.2 原田らの判定法
5.3 反復型の判定法
6 行列の分離と比較定理
6.1 行列の分離
6.2 分離行列に対する収束定理
6.3 比較定理
6.3.1 非負行列の場合
6.3.2 非負行列ではない場合
7 前処理による反復法
7.1 前処理法
7.2対角前処理行列
7.3 前処理行列
7.4 パラメータ付前処理行列
7.5 収東定理
7.5.1(1+S)型の場合
7.5.2(1+aS)型前処理法の場合
7.5.3 (1+3U)型前処理法の場合
7.6 前処理パラメータの推定
7.7 特殊な行列に対する結果