LPFの周波数特性

モチベーション

電気ふりかえり

キルヒホッフの第1法則

回路中の任意の分岐点において、流入する電流の和は流出する電流の和に等しい

電流が一箇所に集まっていったら怖いもんね

キルヒホッフの第2法則

回路内の閉路を一周したら、起電力の和は電圧降下の和に等しい

すべり台のやつだね

オームの法則

$ V = IR

コンデンサの静電容量

$ Q = CV

電荷ってなんだっけ

電流の時間微分だね

$ I = \frac{dQ(t)}{dt}

ラプラス変換

何に使うかよく分かんねえ！でもなんか便利らしい！

$ F(s) = \mathcal{L} \lbrack f(t) \rbrack = \int_0^\infty f(t) e^{-st} dt

実践上、ラプラス変換表ってのを見ながら変換していくと良さそう

周波数伝達関数

伝達関数

よくわからないけどたぶん僕はこれが知りたいんだと思う

$ G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{\mathcal{L} \lbrack y(t) \rbrack}{\mathcal{L} \lbrack x(t) \rbrack}

LPFの周波数特性

シンプルなRCフィルタ

https://gyazo.com/9031db80d620c2240f95a92381a97a34

とする

キルヒホッフ第2法則より、

$ x(t) - \frac{Q}{C} - IR = 0

$ x(t) - \frac{Q}{C} - \frac{dQ(t)}{dt} R = 0

$ x(t) - y(t) - RC \dot y(t) = 0

$ \dot y(t) = -\frac{1}{RC} y(t) + \frac{1}{RC} x(t)

でこれにラプラス変換ってのをするんですか

$ sY(s) = -\omega_c Y(s) + \omega_c X(s)

$ (s + \omega_c) Y(s) = \omega_c X(s)

$ G(s) = \frac{\omega_c}{s + \omega_c}

$ G(j \omega) = \frac{1}{1 + j \omega RC}

おお～

こいつの長さと偏角を求めるとそれぞれゲイン・位相になるらしい

ちょっと変形

$ G(j\omega) = \frac{1}{1 + \frac{j \omega}{\omega_c}} = \frac{1 - \frac{j \omega}{\omega_c}}{1 + (\frac{\omega}{\omega_c})^2}

$ |G(jw)| = \frac{\sqrt{(1 - \frac{j \omega}{\omega_c})^2}}{1 + (\frac{\omega}{\omega_c})^2} = \frac{\sqrt{1 + (\frac{\omega}{\omega_c})^2}}{1 + (\frac{\omega}{\omega_c})^2} = \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{\omega}{\omega_c})^2}}

$ \arg G(j \omega) = \tan^{-1} \left( \frac{\frac{\omega}{\omega_c}}{1} \right) = \tan^{-1} \left( -\frac{\omega}{\omega_c} \right)

https://gyazo.com/d5606ff6dee976b76660504a6445e945

優勝

その他

2-polar, 4-polar

ラダーフィルタ

出力をフィードバック回路で入力に戻してやる

むずかしそう！！！やりたくない！！！！

ラダーフィルタ

$ G(s) = \frac{1}{k + (1 + s)^4}

$ |G(j \omega)| = \frac{1}{\sqrt{(k + \omega^4 - 6 \omega^2 + 1)^2 + (4\omega (\omega^2 - 1))^2}}

$ \arg G(j \omega) = \tan^{-1} (k + \omega^4 - 6 \omega^2 + 1, 4 \omega(\omega^2 - 1))

https://gyazo.com/8708418eab65fdcc6d4e4d88f1084aa7

code:glsl

/**

* Generate saw wave with 4 pole ladder filter using additive synthesis

*/

vec2 filterSaw( float freq, float phase, float cutoff, float reso ) {

vec2 sum = vec2( 0.0 );

for ( int i = 1; i <= 96; i ++ ) {

float fi = float( i );

float freqp = freq * fi;

float omega = freqp / cutoff;

float omegaSq = omega * omega;

float a = 4.0 * reso + omegaSq * omegaSq - 6.0 * omegaSq + 1.0;

float b = 4.0 * omega * ( omegaSq - 1.0 );

float r = 1.0 / sqrt( a * a + b * b );

float phi = atan( a, b );

sum += 0.66 * sin( fi * phase * TAU - phi ) / fi * r;

}

return sum;

}

2-pole

いわゆるSVF（State variable filter）ってのらしいですよ

$ G(s) = \frac{1}{s^2 + 2Rs + 1}

$ |G(j \omega)| = \frac{1}{\sqrt{4 R^2 \omega^2 + (1 - \omega^2)^2}}

$ \arg G(j \omega) = \tan^{-1} (-2R \omega, 1 - \omega^2)

https://gyazo.com/87cf5661ef98b0589f2e30757be79b3d

Razorさん

LPFとBPFを組み合わせているっぽいです　位相の変化はなさそう

そんなもんか！

srtuss - acid jam

$ l = \max(k - c, 0)

$ b = |k - c|

とおき

$ 0.5 \ e^{-0.005 l^2} + 2.2 \ e^{-0.2 b^2}

https://gyazo.com/5a9d36caff8cf653141ee15ca9358590

雑ではあるがしっかりAcidしている