一様分布の和の確率密度
よく言い伝えられる、 random() はたくさん足せば足すほどコクが出るとかいうやつ
$ \begin{aligned} P_{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}(u) & = \int \cdots \int \delta (x_1 + x_2 + \cdots + x_n - u) dx_1 dx_2 \cdots dx_n \\ & = {\mathcal F}_t^{-1} \left[ \left( \frac{i (1 - e^{it})}{t} \right)^n \right] (u) \\ & = \frac{1}{2 (n-1)!} \sum_{k=0}^n (-1)^k \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (u-k)^{n-1} \ {\rm sgn}(u-k) \end{aligned}
$ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}は二項係数 ぜんぜんわからん
$ n = 1のとき、$ P(u) = {\rm step}(0, x) - {\rm step}(1, x)
$ n = 2のとき、$ P(u) = {\rm linearstep}(0, 1, x) - {\rm linearstep}(1, 2, x)
$ nを$ \inftyに近づけていくと、その形は正規分布に近づいていく https://gyazo.com/44f258e56d2b4c2de32639f5be95634a