ヒルベルト空間
ベクトル空間 $ \supset 内積空間 $ \supset ヒルベルト空間
まず「ベクトル空間」について
ベクトル空間の公理 (群論を想起すれば自然と思い出せる) 加法について閉じており, 零元, 逆元が存在 / 結合則・交換則が成立
スカラー積について閉じており, 零元, 逆元が存在 / 結合則が成立
スカラー積と加法の間で分配法則が成立
$ \lambda (a+b)=\lambda a + \lambda b
こいつらが成り立てばまずはベクトル空間
次に「内積空間」について (プレ・ヒルベルト空間とも呼ぶらしい)
内積が定義できれば良い
→内積さえ定義できれば, ノルムが定義できる
最後に「ヒルベルト空間」について
内積空間が完備性を持つとき「ヒルベルト空間」と呼ぶ
完備性とは?
→任意のコーシー列が収束し, 内積空間で閉じているとき → 例えば, あるベクトル$ xを最適解$ x^*に近づけたいとき, $ ∥x - x^*∥_{\mathcal{H}}が0に収束するように$ xが定まるが, この$ xが$ x \in \mathcal{H}である状況が常に成り立つ
したがって, ヒルベルト空間はとても都合の良いベクトル空間なのでアール