拡大シフトのフーリエ変換
主張
$ f(x) を時間軸方向に$ A 倍拡大してから$ B 移動したもののフーリエ変換は
$ \mathcal{F} \left \{ f \left (\frac{t-B}{A} \right ) \right \}= {\rm e}^{-iB\omega} |A| F(A\omega)
証明
$ \mathcal{F} \left \{ f(t) \right \} = F(\omega) とする。
フーリエ変換表より、
$ A 倍に拡大したもののフーリエ変換は$ \mathcal{F} \left \{ f(t/A) \right \} = |A| F(A\omega)
$ 1/A に縮小したもののフーリエ変換は$ \mathcal{F} \left \{ f(At) \right \} = \frac{1}{|A|} F(\omega/A)
つまり、時間領域の拡大・縮小は周波数領域の縮小・拡大に相当する。
$ +B シフトしたもののフーリエ変換は$ \mathcal{F} \left \{ f(t-B) \right \} = {\rm e}^{-iB\omega} F(\omega)
$ g(x) = f(x/A) とおくと、
$ \mathcal{F} \left \{ f \left (\frac{x-B}{A} \right ) \right \}
$ = \mathcal{F} \left \{ g \left ( x - B \right ) \right \}
$ = {\rm e}^{-iB\omega} G(\omega)
$ = {\rm e}^{-iB\omega} |A| F(A\omega)