平行移動、拡大縮小の逆関数

主張

適当な定義域で$ g(x) の逆関数が存在して$ g^{-1}(x) と書けるとする。

このとき、$ f(x) = ag(bx+c) + d $ (a \ne 0, b \ne 0) の逆関数も存在して$ f^{-1}(x) = \frac{1}{b} \left \{ g^{-1} \left ( \frac{x-d}{a} \right ) - c \right \} と書ける。

証明

$ f^{-1}(f(x)) = \frac{1}{b} \left \{ g^{-1} \left ( \frac{f(x)-d}{a} \right ) - c \right \} = \frac{g^{-1}(g(bx+c))-c}{b} = x

出し方

$ y = f(x) 上の点$ (X, Y) をとる。

$ Y = ag(bX+c) + d を$ g について解いて$ g(bX + c) = \frac{Y-d}{a}

両辺に$ g^{-1} を適用して$ bX+c = g^{-1} \left ( \frac{Y-d}{a} \right )

$ X について解いて$ X = \frac{1}{b} \left \{ g^{-1} \left ( \frac{Y-d}{a} \right ) - c \right \}

$ X, Y を入れ替えて$ Y = f^{-1}(X) = \frac{1}{b} \left \{ g^{-1} \left ( \frac{X-d}{a} \right ) - c \right \} を得る。