商集合
Def
集合$ S の同値関係$ \sim による同値類全体を$ \mathcal{M} = S/\sim = \{ C(a) | a \in S \} とする。 $ \mathcal{M} を$ S の$ \sim による商集合という。 $ \mathcal{M} を作ることを$ S の$ \sim による類別という。 Prop
$ \mathcal{M} は$ S の直和分割。 Proof
任意の$ s \in S に対して、$ s \in C(s) \in \mathcal{M} より$ s \in \bigcup \mathcal{M} 、よって$ S \subset \bigcup \mathcal{M}
$ \mathcal{M} は$ S の部分集合族だから$ \bigcup \mathcal{M} \subset S
よって、$ S = \bigcup \mathcal{M} である。
$ C, C' \in \mathcal{M} で$ C \ne C' ならば、下記の証明より$ C \cap C' = \emptyset
したがって$ \mathcal{M} は$ S の直和分割である。