ガウス関数の定積分公式
一般形
$ \int_0^{\infty} e^{-ax^b} dx = \frac{1}{b} a^{-\frac{1}{b}} \Gamma(1/b) = a^{-\frac{1}{b}} \Gamma\left (\frac{b+1}{b} \right )
$ b が偶数の場合は被積分関数が偶関数となるから
$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^b} dx = \frac{2}{b} a^{-\frac{1}{b}} \Gamma(1/b) = 2a^{-\frac{1}{b}} \Gamma\left (\frac{b+1}{b} \right )
よく使う形
ガウス積分
$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx = a^{-\frac{1}{2}} \Gamma(1/2) = \sqrt{\frac{\pi}{a}}
正規分布
$ a = \frac{1}{2\sigma^2}, b = 2 として
$ \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left (-\frac{x^2}{2\sigma^2} \right ) dx = \sqrt{2\pi\sigma^2}
よって、
$ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left (-\frac{x^2}{2\sigma^2} \right ) dx = 1
正規分布のエネルギー
$ a = \frac{1}{4\sigma^4}, b = 4 として
$ \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left \{ - \left ( \frac{x^2}{2\sigma^2} \right )^2 \right \} dx = 2 \sqrt {2 \sigma^2} \Gamma(5/4)
よって、
$ \frac{1}{2\pi\sigma^2} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left \{ - \left ( \frac{x^2}{2\sigma^2} \right )^2 \right \} dx = \frac{\sqrt{2}}{\pi \sigma} \Gamma(5/4) \simeq 0.3248 / \sigma
参考