回転行列

2次元

$ R(θ) ≡ \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}

SO(2)の指数行列表示

$ = \exp\left(θ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right)

prop.

SO(2) の生成子

$ G^2 = -I, G^3 = -G, G^4 = I = G^0

$ \mathrm{e}^{θG} = Σ \{ \frac{θ^i}{i!}G^i | i∈0..∞ \} = \cos θ ⋅ I + \sin θ ⋅ G = R(θ)

固有対

$ \lang ⅈ, \begin{pmatrix} ⅈ \\ 1 \end{pmatrix} \rang

$ \lang -ⅈ, \begin{pmatrix} -ⅈ \\ 1 \end{pmatrix} \rang

Jordan decomposition

$ G = SJS^{-1} = \begin{pmatrix} -ⅈ & ⅈ \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -ⅈ & 0 \\ 0 & ⅈ \end{pmatrix} \frac{1}{2}\begin{pmatrix} ⅈ & 1 \\ -ⅈ & 1 \end{pmatrix}

$ S^{-1}GS = S^{-1}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}S = J

cf. 生成子は指数写像らしい。

無限小生成作用素 (infinitesimal generator)？

ref.