上限と下限

実数（実解析）では、こうも呼ぶらしい。

∨ → 上限

∧ → 下限

上限 = 最小上界

下限 = 最大下界

どちらも当の集合に属するときに呼ばれる。

性質

prop. 2.5

Proposition 2.5. If A ⊂ R, then M = sup A if and only if: (a) M is an upper bound of A; (b) for every M′ < M there exists x ∈ A such that x > M′. Similarly, m = inf A if and only if: (a) m is a lower bound of A; (b) for every m′ > m there exists x ∈ A such that x < m′.

(ref. Chapter 2. The supremum and infimum, §2.1)

実数の場合、この最小上界・最大下界を定義とする流儀もある。

prop. 2.5 の cor.（系）

We frequently use one of the following arguments: (a) If M is an upper bound of A, then M ≥ sup A; (b) For every ε > 0, there exists x ∈ A such that x > sup A−ε. Similarly: (a) If m is an lower bound of A, then m ≤ inf A; (b) For every ε > 0, there exists x ∈ A such that x < inf A + ε.

(ref. Chapter 2. The supremum and infimum, §2.1)

コメント

下限について考える。仮に、区間 [inf A, inf A + ε) に元が存在しないとする。それは下限が inf A + ε より大きい範囲にあることになるが、これはすでにとった inf A の存在と矛盾する。

つまり inf A + ε は下界では あり得ない。

証明

ref.

Chapter 2. The supremum and infimum