ベクトル解析

∇

div, rot, grad

公式

$ \operatorname{grad}(φ\bm{V}) = φ \operatorname{grad} \bm{V} + \bm{V} \operatorname{grad} φ

$ ∇(φ\bm{V}) = φ∇\bm{V} + \bm{V}∇φ

$ \operatorname{div}(φ\bm{V}) = \operatorname{grad} φ\cdot\bm{V} + φ \operatorname{div} \bm{V}

$ ∇·(φ\bm{V}) = ∇φ\cdot\bm{V} + φ∇·\bm{V}

Δ

≡ ∇² ≡ ∇·∇

= div grad

公式

$ φΔψ ≡ φ∇²ψ = ∇·(φ∇ψ) - ∇φ·∇ψ = \operatorname{div}(φ∇ψ) - \operatorname{grad}φ \cdot \operatorname{grad}ψ

定理

en: Stokes' theorem, Kelvin–Stokes theorem

$ ∫_S \mathrm{d}\bm{S}⋅\operatorname{rot} ≡ ∫_S \mathrm{d}\bm{S}\cdot∇× = ∮_C \mathrm{d}\bm{x}\cdot

曲面 ↔️ 境界 = 閉曲線

一般化 → 一般化ストークスの定理

ガウスの発散定理

en: (Gauss's) divergence theorem

$ ∫_V \mathrm{d}V\operatorname{div} ≡ ∫_V \mathrm{d}V∇\cdot = ∫_S \mathrm{d}\bm{S}\cdot

体積 ↔️ 表面積積分

一般化 → 一般化ストークスの定理

一般化ストークスの定理

en: generalized Stokes theorem, Stokes–Cartan theorem

$ ∫_Ω \mathrm{d}ω = ∫_{∂Ω} ω

随伴作用素

∂ ⊣ d

随伴関手？

概念

線素ベクトル

面素ベクトル

aka. 面素、面積要素

en: surface element, areal element

向きが法線ベクトル

体積要素

渦度

n次元の渦度は nC2 成分

4 → 6

ref.