SDE-確率微分方程式-

有限モデル

推移速度行列は時間のみに依存する

推移確率はそのステップでの確率分布

途中地点を考えた総和になる

連続時間モデル

伊藤の公式から

有限停止なら

$ f\in C^2([0,\infty))

$ E_x[f(X_\tau^t)]-f(x)=E\left[\int_0^\tau \left(b(X_t)f'(X_t^x)+\frac 1 2\sigma (X_t)^2f''(X_t^x)\right)dt\right]

$ A_t=b_t(x)\frac {\partial }{\partial x}+\frac{\sigma_t(x)^2}{2}\frac {\partial^2 }{\partial x^2}

これの生成する強連続1パラメーター半群を考える(一歩先からみた今が微分方程式の解)

有限要素の場合

推移速度行列によって表す

これを伊藤過程の作用素に拡張する

後進方程式s->t(startを動かす)

$ \frac {\partial p}{\partial s}(t,x,y)=-b_s(x)\frac{\partial p}{\partial x}(t,x,y)-a_s(x)\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}(t,x,y)

無限遠で0を利用した

対数ソボレフ不等式へ続く

勾配ランジュバン動力学に応用例がある

Kantorovichの最適輸送問題

c_mat_reshape = np.squeeze(np.asarray(c_mat.reshape((1, n*n))))