Lie括弧、リー微分、共変微分
多様体上で微分したくとも座標があるわけではないので普通に偏微分できない
しかしYをXのフローで微分することができる
フロー$ \phi_t に対して
フロー上の2点$ p,q\ ;\ q=\phi_t(p) を取る
$ \phi_t は微分同相なので
$ (d\phi_{-t})_q:T_qM\rightarrow T_pM は全単射で
$ \lim\limits_{t\rightarrow0} \frac {(d\phi_{-t})_q(Y_q)-Y_p}t として微分できる
多様体が"曲がっている"とするとその歪みを$ D(\phi_{-t}) で修正していると考えられる
例えば円周上のベクトル場では曲がっている
リー微分$ L_X Y は$ [X,Y] に一致する
リー微分,共変微分∈接続
二つの線形性とライプニッツ則を満たす
接続=接空間同士を繋げる
Levi-Civita接続∈共変微分
Levi-Civita接続なら接続として対称かつ微分が0なら(平行なら)ベクトルの大きさが変化しない
またよくあるクリストッフェル記号はこれのもの
クリストッフェル記号は共変微分と局所座標の偏微分の誤差
測地線の方程式において重力なんてないと思って等速直線運動をしていると思えばいい
Lie代数