最小多項式とジョルダン標準形のメモ
$ A \sim B \Leftrightarrow P^{-1}AP=B (∃P:正則行列)
と定義するとこれは同値関係になる(check)
これを合同と呼ぶ
これは最小多項式に対しても保たれる
$ λ∈C:固有値に対してEは可換なことを用いると
$ P^{-1}(A-λE)P=B-λE
である これを用いると
$ (B-λ_1E) (B-λ_2E) …=0
$ \Leftrightarrow P^{-1}(A-λ_1E)P P^{-1}(A-λ_2E)P…=0
$ \Leftrightarrow (A-λ_1E) (A-λ_2E) …=0
となる
Jordan標準形は最小多項式を満たしてかつAと合同になる(合同を除いて)唯一の形になる
実際に最小多項式は同じになっていることを確認したし
例えば
$ \left( \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) - 2E\right)^2=0
である
応用
$ A\in M(n,\mathbb C)\ s.t.\ A^n=0\ A^{n-1}=0 を満たすとする
(1) $ A,B が可換なら
$ B=c_0I+c_1A+\dots+c_{n-1}A^{n-1}
となる$ \{c_n\} が存在する
(2) $ X^2=I+A となる解$ X は有限個である
$ A のジョルダン標準形を使う
$ (I+A)X=X^3=X(I+A) を使う
正方行列Aが対角化可能⇔Aの最小多項式は重解をもたない
$ (A-\lambda I)^mx=0
となる$ x
求め方
上の式からkerを求めて、逆元を取って、逆元を取ってとすると求まる