伊藤積分
ガウス過程:ある点$ X_t $ X_s の同時分布がガウス分布、任意の有限分割でも成り立つ。
リーマン積分可能なら微小区間の任意の点を取ってきても収束するが、ガウス過程などは$ \sqrt {dt}のオーダーで振動するため一意には収束しない。
そこで伊藤積分では左に寄せる。
マルチンゲールなら過去の情報は参照しないので左側の数字が分かればその後の期待値が確定する。
有名な例
$ \int_0^t W_t dW_t
左に寄せた効果が分かる。
$ I_t^{\delta t}=\sum_{0\leq t_j< t} f_{t_j} (W_{t_{j+1}}-W_{t_j})
$ t_j=j\delta t
これの$ \delta t \to 0 の極限である。
$ dB_t や$ dW_t と書く。
$ E[(\int_0^t f_t dW_t)^2]=E[\int_0^t f_t^2 dt]
(Ito isometory)
整理すると
$ E[(I_t)^2]=E[||f||_2^2]
である。
証明にはマルチンゲール性を用いる。(あるいは加法過程)
他の重要な性質として単過程列で近似できる。
実装例
アクチュアリーの使う金融数理にも応用例がある
ブラウン運動=ランダムウォーク=正規分布の分散は間隔h,個数nで$ nh^2なので標準偏差は$ \sqrt \Delta tになる