ラプラス変換

公式

たまに虚数部分を省略して書いてあるので注意

ステップ関数 1/s

->0に極がある

->フーリエだと虚数軸上では展開できない

->虚数平面への拡張(ラプラス変換)に拡張するとできる

具体的には+e^{σt}を偏差として加えると極を除いて可積分になる

留数との関係を考えよう

複素軸上の積分は半月状の積分で計算できる

無限遠で0に近くなる解析関数なら弦の部分の積分は0に近づいていく

半月全体の積分これは留数定理でできる

きちんと収束域に入っていればすべての特異点を含んでいる状態になり対応表にでてくるような関数がでてくる

部分積分を用いて

$ L[f'(t)]=\int_0^\infty e^{-st}f'(t)dt=[e^{-st}f(t)]_0^\infty+s\int_0^\infty e^{-st}f(t)dt=-f(0)+sL[f(t)]

複素インピーダンスの発展型と捉えることもできる

応用

StormworksやKSPで使う

一応非斉次にも応用できる

$ y''+4y'-5y=6x

変換して

$ (s^2F-sf(0)-f'(0))+4(sF-f(0))-5F-6\frac{1}{s^2}=0

$ (s^2+4s-5)(F+\frac{6}{5s^2}+\frac{24}{25s})=0

$ f=C_1e^x+C_2e^{5x}-\frac{6}{5}x-\frac{25}{24}