カーネル法
Moore-Aronszajnの定理
正定値カーネルkがあるとすると
それに対してあるヒルベルト空間Hが存在して
$ k(x,y)=\langle \Phi(x),\Phi(y)\rangle_H
となる
$ \Phiは高次元への持ち上げ写像
例えば$ k(x,y)=\exp\left(\frac {||x-y||^2}{2}\right)などがある
再生核ヒルベルト空間
線形汎関数
$ L_x:H\ni f\mapsto f(x)\in \mathbb R
が有界(連続)になることである
リースの表現定理によって
$ \exists K_x\in H \forall f\in H\ L_x(f)=\langle f,K_x\rangle_H
となる
カーネル関数は
$ k(x,y)=\langle K_y,K_x\rangle
となる
なお$ \mathscr L^2空間などはδ関数のような挙動が求められるため再生核ヒルベルト空間にはならない(xを実数とした場合)
Kosambi-Karhunen-Loève theorem
Hilbert-Schmidt integral operator with a kernel.
Variance